第5节空间向量的概念及运算
【课标要求】（1）了解空间向量的概念，了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；（2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；（3）掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.
知识点一空间向量的线性运算
1.空间向量的有关概念
名称
定义
空间向量
在空间中，具有大小和方向的量
相等向量
方向相同且模相等的向量
相反向量
长度相等而方向相反的向量
共线向量
（或平行向量）
表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
共面向量
平行于同一个平面的向量
2.空间向量的线性运算
加法、减法
数乘
几何形式
代数形式
OB＝OA＋OC＝a＋b，
CA＝OA－OC＝a－b
当λ＞0时，λa＝λOA＝PQ；
当λ＜0时，λa＝λOA＝MN；
当λ＝0时，λa＝0
运算律
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：a＋（b＋c）＝（a＋b）＋c
结合律：λ（μa）＝（λμ）a；
分配律：（λ＋μ）a＝λa＋μa，λ（a＋b）＝λa＋λb
（1）（人A选一P10习题5题改编）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则下列向量中与BM相等的向量是（A
A.－12a＋12b＋c B.12a＋1
C.－12a－12b＋c D.12a－1
解析：（1）由题意，得BM＝BB1＋B1M＝AA1＋12（AD－AB）＝c＋12（b－a）＝－
（2）如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点.化简A1O－12AB－12AD＝A1A；用AB，AD，AA1表示OC1，
解析：（2）A1O－12AB－12AD＝A1O－12（AB＋AD）＝A1O－AO＝A1O＋OA＝A1A；∵OC＝12AC＝12（AB＋AD），∴OC
规律方法
空间向量线性运算中的三个关键点
练1（1）已知a＝（2，3，－4），b＝（－4，－3，－2），b＝12x－2a，则x＝（B
A.（0，3，－6） B.（0，6，－20）
C.（0，6，－6） D.（6，6，－6）
（2）（苏教选二P8练习3题改编）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是C1D1的中点，且AP＝AD＋xAB＋yAA1，则实数x＋y＝（C
A.12 B.
C.32 D.
解析：（1）∵b＝12x－2a，∴x＝4a＋2b＝4（2，3，－4）＋2（－4，－3，－2）＝（0，6，－20）.故选B
（2）AP＝AD＋DD1＋D1P＝AD＋AA1＋12AB＝AD＋xAB＋yAA1，故x＝12，
知识点二共线、共面向量定理及应用
共线向
量定理
对任意两个空间向量a，b（b≠0），a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb
共面向
量定理
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使p＝xa＋yb
空间向量
基本定理
及推论
定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得p＝xa＋yb＋zc.
推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的有序实数组（x，y，z），使OP＝xOA＋yOB＋zOC且x＋y＋z＝1
结论（1）三点共线：在平面中A，B，C三点共线?OA＝xOB＋yOC（其中x＋y＝1），O为平面内任意一点；
（2）四点共面：在空间中P，A，B，C四点共面?OP＝xOA＋yOB＋zOC（其中x＋y＋z＝1），O为空间中任意一点.
（1）（苏教选二P15练习2题改编）下列命题正确的是（C）
A.若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B.向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面
C.若空间向量a，b，c不共面，则a，b，c都不为0
D.若a，b，c共面，则存在唯一的实数对（x，y），使得a＝xb＋yc
解析：（1）若b＝0，则满足a与b共线，b与c共线，但是a与c不一定共线，故A错误；因为向量是可以移动的量，所以向量a，b，c共面，但它们所在的直线不一定共面，故B错误；假设a，b，c至少有一个为0，则空间向量a，b，c共面，故假设不成立，故C正确；假设b＝0，若a，c共线，则存在无数个实数对（x，y），使得a＝xb＋yc，若a，c不共线，则不存在实数对（x，y），使得a＝xb＋yc，故D错误.
（2）（苏教选二P17习题6题改编）已知空间中A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若BD＝6PA－4PB＋λPC，则λ＝（B）
A.2 B.－2
C.1 D.－1
解析：（2）BD＝6PA－4PB＋λPC，