第5节空间向量的概念及运算
一、单项选择题
1.已知a＝（2，－1，4），b＝（－1，5，－2），c＝（1，4，λ），若（a＋b）∥c，则实数λ＝（）
A.1 B.2
C.3 D.4
2.（2025·潍坊开学考试）如图所示，在四面体A-BCD中，点E是CD的中点，记AB＝a，AC＝b，AD＝c，则BE＝（）
A.－a＋12b＋12c B.a－12b
C.12a－b＋12c D.－12a＋b
3.已知向量a＝（2，1，3），｜a＋b｜＝｜3a－b｜，则a·b＝（）
A.492 B.
C.14 D.35
4.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥P-ABCD为阳马，PA⊥平面ABCD，且EC＝2PE，若DE＝xAB＋yAC＋zAP，则x＋y＋z＝（）
A.1 B.2
C.13 D.
5.（2025·大连模拟）若点A（3cosα，3sinα，1），B（2cosθ，2sinθ，1），则｜AB｜的取值范围是（）
A.[0，5] B.[1，5]
C.（1，5） D.[1，25]
6.如图，在一个120°的二面角的棱上有两点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB垂直，若AB＝2，AC＝1，BD＝2，则CD的长为（）
A.2 B.3
C.23 D.4
7.已知点P为棱长等于1的正方体ABCD-A1B1C1D1内部一动点，且｜PA｜＝1，则PC1·PD1的值达到最小时，PC1
A.－1 B.0
C.12 D.
二、多项选择题
8.下列说法中正确的是（）
A.｜a｜－｜b｜＝｜a＋b｜是a，b共线的充要条件
B.若AB，CD共线，则AB∥CD
C.A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若OP＝34OA＋18OB＋18OC，则P，
D.若P，A，B，C为空间四点，且有PA＝λPB＋μPC（PB，PC不共线），则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件
9.（2025·邢台模拟）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设AB＝a，AC＝b，AA1＝c，若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，则下列说法中正确的是（
A.MN＝13a＋13b＋23c B.｜
C.A1B⊥A1C1 D.cos＜
三、填空题
10.已知a＝（2，1，－3），b＝（－1，2，3），c＝（7，6，λ），若a，b，c共面，则λ＝.
11.已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，VP＝13VC，VM＝23VB，VN＝23VD.则
12.（2025·金华模拟）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，且满足DE＝xDA＋yDC＋（1－x－y）DD1，则｜DE｜的最小值是
四、解答题
13.已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4），设a＝AB，b＝AC.
（1）若｜c｜＝3，且c∥BC，求c；
（2）求a与b夹角的余弦值；
（3）若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值.
14.如图，正四面体ABCD的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中其所在棱的中点，设AB＝a，AC＝b，AD＝c，试采用向量法解决下列问题：
（1）求EF的模长；
（2）求EF与GH的夹角.
15.定义两个向量u与v的向量积u×v是一个向量，它的模｜u×v｜＝｜u｜·｜v｜sin＜u，v＞，它的方向与u和v同时垂直，且以u，v，u×v的顺序符合右手法则（如图），则在棱长为2的正四面体ABCD中，（AB×AD）·AC＝（）
A.42B.4C.43D.23
16.〔多选〕设向量u＝（a，b，0），v＝（c，d，1），其中a2＋b2＝c2＋d2＝1，则下列判断正确的是（）
A.向量v与z轴正方向的夹角为定值（与c，d无关） B.u·v的最大值为2
C.u与v的夹角的最大值为3π4 D.ad＋bc