第二节平面向量的概念及线性运算
1.理解平面向量的意义、几何表示及两个向量相等的含义.
2.掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义及两个平面向量共线的含义.
3.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
1.对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：A若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b.若a∥b，则a＋b＝0不一定成立.故前者是后者的充分不必要条件，故选A.
2.（2024·南通模拟）
如图，在平行四边形ABCD中，设AB＝a，AD＝b，P为边BC的中点，则AP＝（用a与b表示）.
答案：a＋12
解析：AP＝AB＋BP＝AB＋12AD＝a＋1
3.已知a，b是两个不共线的向量，向量6b－ta，a－3b共线，则实数t＝.
答案：2
解析：向量6b－ta，a－3b共线，所以存在实数λ，使得6b－ta＝λ（a－3b）?（λ＋t）a＝（6＋3λ）b，由于a，b是两个不共线的向量，所以λ＋t＝0且6＋3λ＝0，所以λ＝－2，t＝2.
4.化简：（1）（AB＋MB）＋BO＋OM＝；
（2）NQ＋QP＋MN－MP＝.
答案：（1）AB（2）0
解析：（1）原式＝AB＋BO＋OM＋MB＝AB.
（2）原式＝NP＋PN＝0.
1.若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP＝12（OA＋OB）
2.已知OA＝λOB＋μOC（λ，μ为实数），若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
3.平面向量模的三角不等式｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜.
1.已知O是△ABC所在平面内一点，P为线段AB的中点，且OA－BO＋3OC＝0，那么（）
A.CO＝23OP B.CO
C.CO＝32OP D.CO
解析：A由结论1可知OA＋OB＝2OP，又因OA－BO＋3OC＝0，则3CO＝2OP?CO＝23OP.
2.已知A，B，C，O四点满足条件αOA＋βOB＝OC，若α＋β＝1，则能得到.
答案：A，B，C三点共线
解析：由结论2可知A，B，C三点共线.
平面向量的基本概念
1.设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使a｜a｜＝b｜
A.a＝－b
B.a∥b
C.a＝2b
D.a∥b且｜a｜＝｜b｜
解析：C因为向量a｜a｜的方向与向量a相同，向量b｜b｜的方向与向量b相同，且a｜a｜＝b｜b｜.所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A、B、D.当a＝2b时，a｜a｜＝
2.下列说法正确的是（）
A.若｜a｜＝｜b｜，则a＝b或a＝－b
B.若ma＝mb，m∈R，则a＝b
C.若a∥b，b∥c，则a∥c
D.若ma＝0，m∈R，则m＝0或a＝0
解析：D对于A，当a＝（1，1），b＝（32，52）时，满足｜a｜＝｜b｜，但a≠±b，故A错误；对于B，当a＝（1，1），b＝（1，2），m＝0时，满足ma＝mb＝0，但a≠b，故B错误；对于C，当a＝（1，1），b＝0，c＝（1，2）时，满足a∥b，c∥b，但不满足a∥c，故C错误；对于D，由ma＝0，得m＝0或a＝0，故D正确.综上所述，
3.（多选）给出下列命题，其中正确的有（）
A.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
B.若A，B，C，D是不共线的四点，且AB＝DC，则四边形ABCD为平行四边形
C.a＝b的充要条件是｜a｜＝｜b｜且a∥b
D.两个相等向量的模相等
解析：BDA错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；B正确，因为AB＝DC，所以｜AB｜＝｜DC｜且AB∥DC，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；C错误，当a∥b且方向相反时，即使｜a｜＝｜b｜，也不能得到a＝b；D正确，两个相等向量的模一定相等，故选B、D.
练后悟通
向量有关概念的关键点
（1）向量定义的关键是方向和长度；
（2）非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制；
（3）相等向量的关键是方向相同且长度相等；
（4）单位向量的关键是长度等于1个单位长度；
（5）零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向量共线.
平面向量的线性运算
考向1向量的线性运算
【例1】（2023·天津高考14题节选）在△ABC中，A＝π3，｜BC｜＝1，D为线段AB的中点，E为线段CD的中点，若设AB＝a，AC＝b，则AE可用a，b表示为
答案：14a＋1
解析：如图，因为E为线段CD的中点，所以AE＝12AD＋12AC.因为D为线段AB的中点，所以AD＝12AB.所以AE＝14AB＋
1.（变条件）若本例条件改为：在△ABC中，BE＝13EC，若设AB＝a