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第26天利用导数研究双变量问题（确保120分）
十年高考（新课标1卷）
考查阐述（考点、考向、交汇点等）
试题难度（低，中，高）
2015
证明双变量不等式
高
2016
未考查
2017
未考查
2018
证明双变量不等式
高
2019
证明双变量不等式
高
2020
未考查
2021
证明双变量不等式
高
2022
证明双变量不等式
高
2023
未考查
2024
证明双变量不等式
高
命题热度预测2025
从历年全国卷包括地方自主命题的省市来看，双变量问题考查的并不多，且多为证明不等式问题，属于高难度题型.预计2025年考查的可能性不大，但是作为常规题型，也应加以练习.
【2015天津卷】
1．已知函数，其中.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有；
（Ⅲ）若关于的方程有两个正实根，求证：
【答案】（Ⅰ）当为奇数时，在，上单调递减，在内单调递增；当为偶数时，在上单调递增，在上单调递减.（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.
【难度】0.15
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间
【详解】（Ⅰ）由，可得，其中且，
下面分两种情况讨论：
（1）当为奇数时：
令，解得或，
当变化时，的变化情况如下表：
所以，在，上单调递减，在内单调递增.
（2）当为偶数时，
当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减.
所以，在上单调递增，在上单调递减.
（Ⅱ）证明：设点的坐标为，则，，曲线在点处的切线方程为，即，令，即，则
由于在上单调递减，故在上单调递减，又因为，所以当时，，当时，，所以在内单调递增，在内单调递减，所以对任意的正实数都有，即对任意的正实数，都有.
（Ⅲ）证明：不妨设，由（Ⅱ）知，设方程的根为，可得
，当时，在上单调递减，又由（Ⅱ）知可得.
类似的，设曲线在原点处的切线方程为，可得，当，
，即对任意，
设方程的根为，可得，因为在上单调递增，且，因此.
由此可得.
因为，所以，故，
所以.
考点：1.导数的运算；2.导数的几何意义；3.利用导数研究函数性质、证明不等式.
【2018新课标I卷】
2．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，证明：．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．
【难度】0.4
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数证明不等式
【分析】（1）首先确定函数的定义域，函数求导，再对进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，即可求得函数的单调区间；
（2）方法一：根据存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定，令，得到两个极值点是方程的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果.
【详解】（1）的定义域为，.
（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.
（ii）若，令得，或.
当时，；
当时，.所以在单调递减，在单调递增.
（2）［方法一］：【通性通法】消元
由（1）知，存在两个极值点当且仅当.
由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于
，
所以等价于.
设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，，所以，即.
［方法二］：【通性通法】消元
由（1）知且是方程的两根，不妨设，即．此时．
欲证不等式成立，只需证．
因为，所以，只需证．
令，
所以，在区间内单调递减，且，所以，即证．
［方法三］：硬算
因为，
所以有两个相异的正根（不妨设）．
则且即．
所以．
而，，所以．
设，则．
所以在上递减，，问题得证．
［方法四］：【最优解】对数平均不等式的应用
由（1）知，存在两个极值点当且仅当．
由于的两个极值点满足，所以．不妨设，则．由于．
令，，则，
所以在上单调递减，所以，即，
所以，则，
所以，即．
故．
【整体点评】（2）方法一：根据消元思想，先找到极值点之间的关系，再消元转化为一个未知元的不等式恒成立问题，属于通性通法；
方法二：同方法一，只是消元字母不一样；
方法三：直接硬算出极值点，然后代入求证，计算稍显复杂；
方法四：根据式子形式利用对数平均不等式放缩，证明简洁，是该题的最优解．
【2019天津卷】
3．设函数，其中.
（Ⅰ）若，讨论的单调性；
（Ⅱ）若，
（i）证明恰有两个零点
（ii）设为的极值点，为的零点，且，证明.
【答案】（I）在内单调递增.；
（II）（i）见解析；（ii）见解析.
【难度】0.4
【知识点】导数在函数中的其他应用
【分析】（I）；首先写出函数的定义域，对函数求导，判断导数在对应区间上的符号，从而得到结果；
（