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第21天构造函数法在函数与导数中的应用（确保120分）
十年高考（新课标1卷）
考查阐述（考点、考向、交汇点等）
试题难度（低，中，高）
2015
构造函数解不等式
中
2016
未考查
2017
未考查
2018
未考查
2019
未考查
2020
未考查
2021
构造函数比较大小
高
2022
构造函数比较大小
高
2023
未考查
2024
未考查
命题热度预测2025
从历年高考来看，原函数与导函数混合构造函数解函数不等式、构造函数比较大小的考查频率并不高，经常以客观题出现，通过已知等式或不等式的结构特性构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立问题.预计2025年高考对构造函数比较大小的考查可能性不大，但是作为导数中非常重要的构造函数问题也不能忽视.
【2015新课标Ⅱ卷】
1．设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【难度】0.65
【详解】构造新函数,，当时.
所以在上单减，又，即.
所以可得,此时，
又为奇函数，所以在上的解集为：.
故选A.
点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如，想到构造.一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数.
【2021全国乙卷】
2．设，，．则（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.4
【知识点】利用导数证明不等式、比较对数式的大小
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
【详解】[方法一]：
，
所以；
下面比较与的大小关系.
记，则，，
由于
所以当0x2时，，即，，
所以在上单调递增，
所以，即，即；
令，则，，
由于，在x0时，，
所以，即函数在[0，+∞)上单调递减，所以，即，即bc；
综上，，
故选：B.
[方法二]：
令
，即函数在（1，+∞)上单调递减
令
，即函数在（1，3)上单调递增
综上，，
故选：B.
【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.
【2022新高考I卷】
3．设，则（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.4
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较指数幂的大小、比较对数式的大小
【分析】构造函数，导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】方法一：构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
方法二：比较法
解：，，，
①，
令
则，
故在上单调递减，
可得，即，所以；
②，
令
则，
令，所以，
所以在上单调递增，可得，即，
所以在上单调递增，可得，即，所以
故
（与的乘除构造）
4．已知偶函数的导函数为，且满足，当时，，则的解集为（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】利用导数研究函数图象及性质、用导数判断或证明已知函数的单调性
【分析】构造函数设函数，时，利用可得，结合奇偶性得出的单调性，根据，可得的解集．
【详解】根据题意，设函数，
当时，，
所以函数在上单调递减，
又为偶函数，所以，
所以函数为奇函数，
则函数在上也单调递减，
又，所以，得，
故在和的函数值大于零，在和的函数值小于零．
又因为，
所以当时，由可得，即；
当时，由可得，即．
故在的函数值大于零．
故选：B
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是构造函数，研究函数的奇偶性、单调性和图象，再解决问题.
（与的乘除构造）【组卷网原创题】
5．已知为R上的可导函数，其导函数为，且对于任意的，均有，则（????）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性
【分析】构造函数，利用导数判断函数的单调性，根据且可得答案