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第20天导数与函数的最值问题（确保120分）
十年高考（新课标1卷）
考查阐述（考点、考向、交汇点等）
试题难度（低，中，高）
2015
函数单调性、极值与最值的综合应用
中
2016
函数单调性、极值与最值的综合应用
中
2017
未考查
2018
由导数求函数的最值（不含参）
高
2019
未考查
2020
未考查
2021
由导数求函数的最值（不含参）
低
2022
由导数求函数的最值（不含参）
低
2023
未考查
2024
未考查
命题热度预测2025
函数的最值问题十年五考，难度中等偏下，单独考查的不多，往往在解答题恒成立问题、或实际问题求最值中扮演重要角色.因此2025年高考仍然有可能考查该知识点.
【2015新课标Ⅱ卷】
1．已知.
(1)讨论的单调性；
(2)当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围.
【答案】(1)时,在是单调递增；时,在单调递增，在单调递减.（2）.
【难度】0.65
【详解】试题分析：（Ⅰ）由,可分,两种情况来讨论；（II）由（I）知当时在无最大值,当时最大值为因此.令,则在是增函数,当时,,当时,因此a的取值范围是.
试题解析：
（Ⅰ）的定义域为,,若,则,在是单调递增；若,则当时,当时,所以在单调递增,在单调递减.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当时在无最大值,当时在取得最大值,最大值为因此.令,则在是增函数,,于是,当时,,当时,因此a的取值范围是.
考点：本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想.
【2016新课标II卷】
2．(1)讨论函数的单调性，并证明当0时，
(2)证明：当时，函数有最小值.设g（x）的最小值为，求函数的值域.
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【难度】0.65
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用
【详解】试题分析：（Ⅰ）先求定义域，用导数法求函数的单调性，当时，证明结论；（Ⅱ）用导数法求函数的最值，再构造新函数，用导数法求解.
试题解析：（Ⅰ）的定义域为.
且仅当时，，所以在单调递增，
因此当时，
所以
（Ⅱ）
由（Ⅰ）知，单调递增，对任意
因此，存在唯一使得即，
当时，单调递减；
当时，单调递增.
因此在处取得最小值，最小值为
于是，由单调递增
所以，由得
因为单调递增，对任意存在唯一的
使得所以的值域是
综上，当时，有最小值，的值域是
【考点】函数的单调性、极值与最值
【名师点睛】求函数单调区间的步骤：
（1）确定函数f（x）的定义域；
（2）求导数f′（x）；
（3）由f′（x）＞0（f′（x）＜0）解出相应的x的范围．
当f′（x）＞0时，f（x）在相应的区间上是增函数；当f′（x）＜0时，f（x）在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间．
注意：求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．
请考生在第22~24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
【2018新课标I卷】
3．已知函数，则的最小值是．
【答案】
【难度】0.4
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）
【分析】方法一：由，确定出函数的单调区间，减区间，从而确定出函数的最小值点，代入求得函数的最小值.
【详解】［方法一］：【通性通法】导数法
．
令，得，即在区间内单调递增；
令，得，即在区间内单调递减．
则．
故答案为：.
［方法二］：三元基本不等式的应用
因为，
所以
．
当且仅当，即时，取等号．
根据可知，是奇函数，于是，此时．
故答案为：.
［方法三］：升幂公式＋多元基本不等式
，
，
当且仅当，即时，．
根据可知，是奇函数，于是．
故答案为：.
［方法四］：化同角＋多元基本不等式+放缩
，当且仅当时等号成立．
故答案为：.
［方法五］：万能公式＋换元+导数求最值
设，则可化为，
当时，；当时，，对分母求导后易知，
当时，有最小值．
故答案为：.
［方法六］：配方法
，
当且仅当即时，取最小值．
故答案为：.
［方法七］：【最优解】周期性应用＋导数法
因为，所以，
即函数的一个周期为，因此时，的最小值即为函数的最小值．
当时，，
当时，因为
，令，解得或，由，，，所以的最小值为．
故答案为：.
【整体点评】方法一：直接利用导数判断函数的单调性，得出极值点，从而求出最小值，是求最值的通性通法；
方法二：通过对函数平方，创造三元基本不等式的使用条件，从而解出；
方法三：基本原理同方法三，通