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第19天导数与函数的极值问题（确保120分）
十年高考
考查阐述
试题难度
2015
未考查
2016
根据极值求参数
低
2017
求已知函数的极值
低
2018
根据极值求参数
中
2019
求已知函数的极值
低
2020
求已知函数的极值
中
2021
根据极值点求参数
中
2022
根据极值点求参数
高
2023
根据极值求参数
中
2024
根据极值求参数
中
命题热度预测2025
从近几年全国各地的高考试卷来看，函数的极值是一个高频考点，可以出现在选填题，也可以出现在解答题.这就要求在2025年高考备考中，要会利用导数判断函数的单调性及会求极值最值，会根据极值点拓展求参数及其他内容，要熟练掌握.
【2016四川卷】
1．已知a为函数f（x）=x3–12x的极小值点，则a=
A．–4 B．–2 C．4 D．2
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】根据极值求参数
【详解】试题分析：，令得或，易得在上单调递减，在上单调递增，故的极小值点为2，即，故选D.
【考点】函数的导数与极值点
【名师点睛】本题考查函数的极值点．在可导函数中，函数的极值点是方程的解，但是极大值点还是极小值点，需要通过这个点两边的导数的正负性来判断，在附近，如果时，，时，则是极小值点，如果时，，时，，则是极大值点.
【2017新课标II卷】
2．若是函数的极值点，则的极小值为．
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】求已知函数的极值
【详解】由题可得，
因为，所以，，故，
令，解得或，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极小值为，故选A．
【名师点睛】（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同；
（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
【2018北京卷】
3．设函数=[]．
（1）若曲线在点（1，）处的切线与轴平行，求；
（2）若在处取得极小值，求的取值范围．
【答案】(1)1??(2)（，）
【难度】0.4
【知识点】已知切线（斜率）求参数、根据极值求参数
【详解】分析：（1）先求导数，再根据得a；（2）先求导数的零点：，2；再分类讨论，根据是否满足在x=2处取得极小值，进行取舍，最后可得a的取值范围．
详解：解：（Ⅰ）因为=[]，
所以f′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex（x∈R）
=［ax2–（2a+1）x+2］ex．
f′(1)=(1–a)e．
由题设知f′(1)=0，即(1–a)e=0，解得a=1．
此时f(1)=3e≠0．
所以a的值为1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］ex=（ax–1）(x–2)ex．
若a，则当x∈(，2)时，f′(x)0；
当x∈(2，+∞)时，f′(x)0．
所以f(x)0在x=2处取得极小值．
若a≤，则当x∈(0，2)时，x–20，ax–1≤x–10，
所以f′(x)0．
所以2不是f(x)的极小值点．
综上可知，a的取值范围是（，+∞）．
点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.
【2019新课标Ⅱ卷】
4．已知函数.证明：存在唯一的极值点.
【答案】证明见解析
【难度】0.65
【知识点】函数极值点的辨析
【分析】先对函数求导，根据导函数的单调性，得到存在唯一，使得，进而可得判断函数的单调性，即可确定其极值点个数，证明出结论成立.
【详解】由题意可得，的定义域为，
由，
得，
显然单调递增，
又，，
故存在唯一，使得，
又当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
因此存在唯一的极值点.
【2020天津卷】
5．已知函数为的导函数，当时，
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间和极值；
【答案】(1)
(2)单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值；
【难度】0.85
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值
【分析】（1）根据导数的几何意义即可求出切线方程；
（2）根据导数和函数单调性极值的关系求解即可；
【详解】（1）当时，，故，
，，切点为，
曲线在点处的切线方程为，即；
（2）因为，，
，
令，解得，
当时，，当时，，
函数在上