导数题目及答案极值点
一、选择题
1.函数f(x)=x^3-3x在x=0处有极值，该极值是（）。
A.极大值
B.极小值
C.无极值
D.不能确定
答案：B
解析：首先求导数f(x)=3x^2-3，令f(x)=0，解得x=±1。当x-1或x1时，f(x)0，函数单调递增；当-1x1时，f(x)0，函数单调递减。因此，x=1处为极大值，x=-1处为极小值。由于题目中给定的x=0不在极值点处，所以该点无极值。
2.函数f(x)=x^2-4x+3在x=2处有极值，该极值是（）。
A.极大值
B.极小值
C.无极值
D.不能确定
答案：B
解析：首先求导数f(x)=2x-4，令f(x)=0，解得x=2。当x2时，f(x)0，函数单调递减；当x2时，f(x)0，函数单调递增。因此，x=2处为极小值。
3.函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1在x=3处有极值，该极值是（）。
A.极大值
B.极小值
C.无极值
D.不能确定
答案：A
解析：首先求导数f(x)=3x^2-12x+9，令f(x)=0，解得x=1或x=3。当x1或x3时，f(x)0，函数单调递增；当1x3时，f(x)0，函数单调递减。因此，x=1处为极大值，x=3处为极小值。
二、填空题
4.函数f(x)=x^4-4x^3+3x^2的极值点为______。
答案：x=0，x=1，x=3
解析：首先求导数f(x)=4x^3-12x^2+6x，令f(x)=0，解得x=0，x=1，x=3。当x0或x3时，f(x)0，函数单调递增；当0x1时，f(x)0，函数单调递减；当1x3时，f(x)0，函数单调递增；当x3时，f(x)0，函数单调递减。因此，x=0，x=1，x=3均为极值点。
5.函数f(x)=x^2-6x+8在x=3处取得极小值，其值为______。
答案：-1
解析：首先求导数f(x)=2x-6，令f(x)=0，解得x=3。当x3时，f(x)0，函数单调递减；当x3时，f(x)0，函数单调递增。因此，x=3处为极小值点。将x=3代入原函数，得到极小值f(3)=3^2-63+8=-1。
三、解答题
6.求函数f(x)=x^3-3x^2+2x-1的极值点及极值。
答案：
极值点：x=1，x=2
极大值：f(1)=-1
极小值：f(2)=0
解析：
（1）求导数：f(x)=3x^2-6x+2
（2）令f(x)=0，解得x=1或x=2
（3）当x1时，f(x)0，函数单调递增；当1x2时，f(x)0，函数单调递减；当x2时，f(x)0，函数单调递增。
（4）因此，x=1处为极大值点，x=2处为极小值点。
（5）将x=1和x=2分别代入原函数，得到极大值f(1)=-1，极小值f(2)=0。
7.求函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-2x+1的极值点及极值。
答案：
极值点：x=1
极大值：f(1)=2
极小值：无
解析：
（1）求导数：f(x)=4x^3-12x^2+12x-2
（2）令f(x)=0，解得x=1
（3）当x1时，f(x)0，函数单调递增；当x1时，f(x)0，函数单调递减。
（4）因此，x=1处为极大值点，无极小值点。
（5）将x=1代入原函数，得到极大值f(1)=2。
8.求函数f(x)=x^5-5x^4+5x^3+10x^2-20x+8的极值点及极值。
答案：
极值点：x=1，x=2
极大值：f(1)=4
极小值：f(2)=0
解析：
（1）求导数：f(x)=5x^4-20x^3+15x^2+20x-20
（2）令f(x)=0，解得x=1或x=2
（3）当x1时，f(x)0，函数单调递增；当1x2时，f(x)0，函数单调递减；当x2时，f(x)0，函数单调递增。
（4）因此，x=1处为极大值点，x=2处为极小值点。
（5）将x=1和x=2分别代入原函数，得到极大值f(1)=4，极小值f(2)=0。