命题区间7导数的综合应用
(单项选择题每小题5分，多项选择题每小题6分，填空题每小题5分，解答题每小题15分，共73分)
考向一利用导数证明不等式
1．(15分)(2023·新高考Ⅰ卷T19姊妹题)已知函数f(x)＝xex－ax2＋2
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当a0时，证明：f(x)ea－1＋1e
考向二不等式恒成立或有解问题
2．(15分)(2024·新高考Ⅰ卷T18姊妹题)已知函数f(x)＝a(x＋1)＋ln-1+2x+2＋bx＋b＋
(1)若a＝0，且f(x－1)在定义域内单调递减，求b的取值范围；
(2)证明：y＝f(x)为中心对称图形，并求其对称中心；
(3)当x∈(－1，0)时，f(x)＜1恒成立，求a＋b的取值范围．
考向三利用导数研究函数的零点
3．(2021·新高考Ⅱ卷T22(2)子母题)已知函数f(x)＝ax2－axlnx－ex有两个零点，则实数a的取值范围为()
[A]0，1e [B](0
[C]1e，+∞ [D](e
4．(多选)(2022·新高考Ⅰ卷T10)已知函数f(x)＝x3－x＋1，则()
[A]f(x)有两个极值点
[B]f(x)有三个零点
[C]点(0，1)是曲线y＝f(x)的对称中心
[D]直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线
5．(多选)(2024·新高考Ⅱ卷T11)设函数f(x)＝2x3－3ax2＋1，则()
[A]当a1时，f(x)有三个零点
[B]当a0时，x＝0是f(x)的极大值点
[C]存在a，b，使得x＝b为曲线y＝f(x)的对称轴
[D]存在a，使得点(1，f(1))为曲线y＝f(x)的对称中心
6．(多选)(2021·新高考Ⅱ卷T22姊妹题)已知函数f(x)＝e2x＋aex，g(x)＝a(1－x)ex＋x2(a∈R)，则下列选项正确的是()
[A]函数f(x)单调递增
[B]a0时，f(x)只有一个零点
[C]函数g(x)有两个极值点
[D]a＝2时，方程f(x)＝g(x)只有一个实根
7．(2021·新高考Ⅱ卷T22(2)改编题)已知函数f(x)＝ex－a－lnxx－1有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
8．(15分)(2024·北京卷T20)设函数f(x)＝x＋kln(1＋x)(k≠0)，直线l是曲线y＝f(x)在点(t，f(t))(t0)处的切线．
(1)当k＝－1时，求f(x)的单调区间；
(2)求证：l不经过点(0，0)；
(3)当k＝1时，设点A(t，f(t))(t＞0)，C(0，f(t))，O(0，0)，B为l与y轴的交点，S△ACO与S△ABO分别表示△ACO与△ABO的面积．是否存在点A使得2S△ACO＝15S△ABO成立？若存在，这样的点A有几个？
(参考数据：1.09ln31.10，1.60ln51.61，1.94ln71.95)