重难专攻（五）函数与导数中的新定义问题
【重点解读】函数与导数中的新定义问题通常涉及三种类型：定义新概念、定义新运算、定义新性质.解决函数与导数中的新定义问题的首要任务是深入理解这些“新颖的定义”，随后依据这些定义来解答问题.在理解过程中，借助类比的方式有助于深化对新定义的认识，尽管新定义的外表可能颇具挑战，但其实质仍旧根植于数学的基础知识中，因此，扎实掌握数学的基本原理，灵活运用已学过的知识、思想、方法，是解决此类问题的关键.
提能点1
定义新概念
（2025·深圳调研）设函数f（x）是定义在[0，1]上的函数，若存在x0∈（0，1），使得f（x）在[0，x0]上是严格增函数，在[x0，1]上是严格减函数，则称f（x）为[0，1]上的单峰函数，x0称为峰点，[0，1]称为含峰区间.
（1）判断下列函数中，哪些是“[0，1]上的单峰函数”？若是，指出峰点；若不是，说出原因：f1（x）＝2x－x2，f2（x）＝1－｜4x－1｜；
（2）若函数f（x）是区间[0，1]上的单峰函数，证明：若存在x1，x2∈（0，1），x1＜x2，使得f（x1）≥f（x2），则[0，x2]为含峰区间；使f（x1）≤f（x2），则[x1，1]为含峰区间；
（3）若函数f（x）＝2a（x＋2）3－x－1是区间[0，1]上的单峰函数，求实数a的取值范围.
规律方法
对于函数与导数中“新概念”类的创新问题，弄清“新概念”是关键，然后“照章办事”，与已学过的知识进行合理联想，即可解决问题.
提能点2
定义新运算
用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f（x）是f（x）的导函数，f″（x）是f（x）的导函数，则曲线y＝f（x）在点（x，f（x））处的曲率K＝｜f″
（1）求曲线f（x）＝lnx在点（1，0）处的曲率；
（2）已知函数g（x）＝cosx＋1（x∈R），求g（x）曲率的平方的最大值；
（3）函数h（x）＝（x－2）ex＋（3+m2－x3－lnx）x2，若h（x）在两个不同的点处曲率为0，求实数
规律方法
对于函数与导数中的“新运算”类的创新问题，一般是给出一种“新运算”（或通过推理得出新运算）、定义新的运算律等，不论哪种“新运算”，最后仍会回归到熟悉的解题思路上来.
提能点3
定义新性质
已知非空集合A是由一些函数组成的，且满足如下性质：①对任意f（x）∈A，f（x）均存在反函数f－1（x），且f－1（x）∈A；②对任意f（x）∈A，方程f（x）＝x均有解；③对任意f（x）∈A，g（x）∈A，若函数g（x）为定义在R上的一次函数，则f（g（x））∈A.
（1）若f（x）＝（12）x，g（x）＝2x－3，且f（x）∈A，g（x）∈A，证明：函数h（x）＝log12（2x－3
（2）若函数f（x）＝x2＋ax+1（x≥1）在集合A内
（3）若集合A中的函数均为定义在R上的一次函数，证明：存在一个实数x0，使得对任意f（x）∈A，均有f（x0）＝x0.
规律方法
对于函数与导数中的“新性质”类创新问题，对学生的数学思维能力、阅读理解能力的要求较高，“新性质”可能有多个，不仅要求学生对其深入理解，并会灵活应用其解决问题，甚至在这些性质的基础上，还要求学生通过进一步推理论证得出新的性质.
提示：完成课后作业第三章重难专攻（五）