第5节幂函数与二次函数
【课标要求】（1）通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律；（2）掌握二次函数的图象与性质（单调性、对称性、顶点、最值等）.
知识点一幂函数的图象与性质
1.定义：一般地，函数y＝叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
2.常见的五种幂函数的图象
3.幂函数的性质
（1）幂函数在（0，＋∞）上都有定义；
（2）当α＞0时，幂函数的图象都过点和，且在（0，＋∞）上单调递增；
（3）当α＜0时，幂函数的图象都过点，且在（0，＋∞）上单调递减；
（4）当α为奇数时，y＝xα为；当α为偶数时，y＝xα为.
结论幂函数y＝xα在第一象限的两个重要结论
（1）恒过点（1，1）；
（2）当x∈（0，1）时，α越大，函数值越小；当x∈（1，＋∞）时，α越大，函数值越大.
（1）（苏教必修一P140思考改编）若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为（）
A.－1＜m＜0＜n＜1
B.－1＜n＜0＜m＜1
C.－1＜m＜0＜n＜1
D.－1＜n＜0＜m＜1
（2）（人A必修一P91练习2题改编）若a＝3525，b＝2535，c＝2525，则
A.a＞b＞c B.a＞c＞b
C.c＞a＞b D.b＞c＞a
听课记录
规律方法
1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域.根据α＜0，0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.
2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.
练1（1）〔多选〕幂函数f（x）＝（m2－5m＋7）·xm2－6在（0，＋∞）上单调递增，
A.m＝3
B.函数f（x）在（－∞，0）上单调递增
C.函数f（x）是偶函数
D.函数f（x）的图象关于原点对称
（2）（2025·广州模拟预测）若（m＋1）－1＜（3－2m）－1，则实数m的取值范围为.
知识点二二次函数的解析式
二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：f（x）＝；
（2）顶点式：f（x）＝a（x－m）2＋n（a≠0），顶点坐标为；
（3）零点式：f（x）＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0），x1，x2为f（x）的.
（1）已知f（x）为二次函数，且f（x）＝x2＋f（x）－1，则f（x）＝（）
A.x2－2x＋1 B.x2＋2x＋1
C.2x2－2x＋1 D.2x2＋2x－1
（2）已知二次函数f（x）满足f（2）＝－1，f（1－x）＝f（x），且f（x）的最大值是8，则此二次函数的解析式f（x）＝（）
A.－4x2＋4x＋7 B.4x2＋4x＋7
C.－4x2－4x＋7 D.－4x2＋4x－7
听课记录
规律方法
求二次函数解析式的方法
练2（2025·六安一模）已知二次函数的图象过点（－3，0），（1，0），且顶点到x轴的距离等于2，则二次函数的表达式为.
知识点三二次函数的图象与性质
解析式
f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0）
f（x）＝ax2＋bx＋c（a＜0）
图象
定义域
R
R
值域
（－∞，4ac
单调性
在x∈（－∞，－b2a］
在x∈上单调递增
在x∈（－∞，－b2a］
在x∈上单调递减
对称性
函数的图象关于直线x＝对称
提醒注意二次项系数对函数性质的影响，经常分二次项系数大于零与小于零两种情况讨论.
角度1二次函数的图象
（1）设函数f（x）＝x2＋x＋a（a＞0），若f（m）＜0，则（）
A.f（m＋1）≥0 B.f（m＋1）≤0
C.f（m＋1）＞0 D.f（m＋1）＜0
（2）〔多选〕二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，则下面结论中正确的是（）
A.2a＋b＝0
B.4a－2b＋c＜0
C.b2－4ac＞0
D.当y＜0时，x＜－1或x＞4
听课记录
规律方法
识别二次函数图象应学会“三看”
角度2二次函数的单调性与最值
（1）（人A必修一P100复习参考题4题改编）已知二次函数f（x）＝ax2－x＋2a－1.若f（x）在区间[1，2]上单调递减，则a的取值范围为；
（2）已知函数f（x）＝x2－tx－1，若x∈[－1，2]，求f（x）的最小值g（t）.
规律方法
二次函