第4节向量中的最值（范围）问题
【重点解读】平面向量中的最值（范围）问题是高考中的热点，此类问题综合性较强，多与其他知识交汇命题.其基本题型是根据已知条件求某个变量的最值（范围），比如向量的模、数量积、夹角、系数的最值（范围）等.
提能点1
与系数有关的最值（范围）问题
（2025·安徽六校第一次素养测试）已知正方形ABCD的边长为2，四个半圆的圆心均为正方形ABCD各边的中点（如图），若P在BC上，且AP＝λAB＋μAD，则λ＋μ的最大值为.
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规律方法
系数最值（范围）问题的解法
（1）利用向量的运算将问题转化为相应的等式关系；
（2）运用基本不等式或函数的性质求其最值.
练1在△ABC中，E为AC上一点，AC＝3AE，P为BE上任意一点，若AP＝mAB＋nAC（m＞0，n＞0），则3m＋1n的最小值是（
A.4 B.8
C.12 D.16
提能点2
与数量积有关的最值（范围）问题
（2024·天津高考14题）在边长为1的正方形ABCD中，E为线段CD的三等分点，CE＝12DE，BE＝λBA＋μBC，则λ＋μ＝；F为线段BE上的动点，G为AF中点，则AF·DG的最小值为.
听课记录
规律方法
向量数量积的最值（范围）问题的解法
（1）坐标法：通过建立直角坐标系，运用向量的坐标运算转化为代数问题处理；
（2）向量法：运用向量数量积的定义、几何意义等向量有关知识解决.
练2（2024·商洛模拟）在Rt△ABC中，B＝90°，AB＝7，BC＝2，若动点P满足｜AP｜＝2，则BP·CP的最大值为（）
A.16B.17 C.18D.19
提能点3
与模有关的最值（范围）问题
（2024·南通模拟）已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝2，a·b＝0，若向量c满足｜a＋b－2c｜＝1，则｜c｜的取值范围是.
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规律方法
求向量模的最值（范围）的方法
（1）代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，或通过建立平面直角坐标系，借助向量的坐标表示，构造不等式、三角函数等求解；也可直接应用平面向量模的三角不等式：｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜求解；
（2）几何法（数形结合法）：弄清所求的模表示的几何特征，注意题目中所给的垂直、平行，以及其他数量关系合理的转化，结合动点表示的图形求解.
练3（2025·泉州模拟）设向量a与单位向量e满足对任意t∈R，都有｜a－te｜≥｜a－e｜，则｜a＋e｜的最小值为（）
A.3B.2 C.3D.4
提能点4
与夹角有关的最值（范围）问题
已知平面向量a，b满足｜a｜＝｜b｜，且｜a－3b｜＝1，则cos＜b，3b－a＞的最小值是.
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规律方法
求夹角的最值（范围）要根据夹角余弦值的表达式，利用基本不等式或函数的性质进行求解.
练4已知｜a｜＝2｜b｜，｜b｜≠0，且关于x的方程x2＋｜a｜x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角θ的取值范围是.
提示：完成课后作业第五章第4节