第4节向量中的最值（范围）问题
【重点解读】平面向量中的最值（范围）问题是高考中的热点，此类问题综合性较强，多与其他知识交汇命题.其基本题型是根据已知条件求某个变量的最值（范围），比如向量的模、数量积、夹角、系数的最值（范围）等.
提能点1
与系数有关的最值（范围）问题
（2025·安徽六校第一次素养测试）已知正方形ABCD的边长为2，四个半圆的圆心均为正方形ABCD各边的中点（如图），若P在BC上，且AP＝λAB＋μAD，则λ＋μ的最大值为3+22.
解析：如图，以线段BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设P（cosθ，sinθ），θ∈[π，2π]，又A（－1，2），B（－1，0），C（1，0），D（1，2），则AP＝（cosθ＋1，sinθ－2），AD＝（2，0），AB＝（0，－2），∵AP＝λAB＋μAD，即（cosθ＋1，sinθ－2）＝λ（0，－2）＋μ（2，0），∴cosθ+1=2μ，sinθ－2=－2λ，解得μ＝cosθ+12，λ＝2－sinθ2，λ＋μ＝2－sinθ2＋cosθ+12＝12（cosθ－sinθ＋3）＝12［2cos（θ＋π4）＋3］，∵θ∈[π，2π]，则
规律方法
系数最值（范围）问题的解法
（1）利用向量的运算将问题转化为相应的等式关系；
（2）运用基本不等式或函数的性质求其最值.
练1（2025·长春模拟）在△ABC中，E为AC上一点，AC＝3AE，P为BE上任意一点，若AP＝mAB＋nAC（m＞0，n＞0），则3m＋1n的最小值是（
A.4 B.8
C.12 D.16
解析：C因为AC＝3AE，P为BE上任意一点，AP＝mAB＋nAC＝mAB＋3nAE，因为P，B，E三点共线，所以m＋3n＝1，m＞0，n＞0，则3m＋1n＝（3m＋1n）（m＋3n）＝6＋9nm＋mn≥6＋29nm·mn＝12，当且仅当9nm＝mn且m＋3n＝1，即m＝12，
提能点2
与数量积有关的最值（范围）问题
（2024·天津高考14题）在边长为1的正方形ABCD中，E为线段CD的三等分点，CE＝12DE，BE＝λBA＋μBC，则λ＋μ＝43；F为线段BE上的动点，G为AF中点，则AF·DG的最小值为－518
解析：法一因为CE＝12DE，即CE＝13BA，则BE＝BC＋CE＝13BA＋BC，可得λ＝13，μ＝1，所以λ＋μ＝43；由题意可知：｜BC｜＝｜BA｜＝1，BA·BC＝0，因为F为线段BE上的动点，设BF＝kBE＝13kBA＋kBC，k∈[0，1]，则AF＝AB＋BF＝AB＋kBE＝（13k－1）BA＋kBC，又因为G为AF中点，则DG＝DA＋AG＝－BC＋12AF＝12（13k－1）BA＋（12k－1）BC，可得AF·DG＝［（13k－1）·BA＋kBC］·［12（13k－1）BA＋（12k－1）BC］＝12（13k－1）2＋k（12k－1）＝59（k－65）2－3
法二以点A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），E（23，1），所以BE＝（－13，1），BA＝（－1，0），BC＝（0，1），因为BE＝λBA＋μBC，所以（－13，1）＝λ（－1，0）＋μ（0，1），所以λ＝13，μ＝1，所以λ＋μ＝43.由B（1，0），E（23，1）可得直线BE的方程为y＝－3（x－1），设F（a，3－3a）（23≤a≤1），则G（a2，3－3a2），所以AF＝（a，3－3a），DG＝（a2，1－3a2），所以AF·DG＝a·a2＋（3－3a）·1－3a2＝5a2－6a＋32＝5（a
规律方法
向量数量积的最值（范围）问题的解法
（1）坐标法：通过建立直角坐标系，运用向量的坐标运算转化为代数问题处理；
（2）向量法：运用向量数量积的定义、几何意义等向量有关知识解决.
练2（2024·商洛模拟）在Rt△ABC中，B＝90°，AB＝7，BC＝2，若动点P满足｜AP｜＝2，则BP·CP的最大值为（）
A.16 B.17
C.18 D.19
解析：B如图，以B为坐标原点，BA，BC的方向分别为x轴、y轴的正方向，建立平面直角坐标系，则B（0，0），A（7，0），C（0，2）.设P（x，y），则BP·CP＝x2＋y2－2y＝x2＋（y－1）2－1.因为｜AP｜＝2，所以P是圆A：（x－7）2＋y2＝2上的点.又点P与点（0，1）距离的最大值为2＋7+1＝32，即x2＋（y－1）2≤（32）2＝18，所以BP·CP≤17.故BP
提能点3
与模有关的最值（范围）问题
（2024·南通模拟）已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝2，a·b＝0，若向量c满足｜a＋b－2c｜