等和（高）线定理及应用
平面内一个基底{OA，OB}及任一向量OP，且OP＝λOA＋μOB（λ，μ∈R），若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上，且k＝｜OP｜｜OF｜＝｜OB1｜｜OB｜＝｜OA1｜｜OA｜，则λ
（1）当等和线恰为直线AB时，k＝1；
（2）当等和线在O点和直线AB之间时，k∈（0，1）；
（3）当直线AB在O点和等和线之间时，k∈（1，＋∞）；
（4）当等和线过O点时，k＝0.
一、利用等和线求基底系数和的值
如图，平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，且｜OA｜＝｜OB｜＝1，｜OC｜＝23.若OC＝λOA＋μOB（λ，μ∈R），则λ＋μ＝.
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规律方法
利用等和线求系数和的步骤
（1）确定值为1的等和线；
（2）平移该线，作出满足条件的等和线；
（3）从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线的值.
二、利用等和线求基底系数和的最值（范围）
（2025·武汉一模）给定两个长度为3的平面向量OA和OB，它们的夹角为2π3，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若OC＝xOA＋yOB，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是
听课记录
规律方法
利用等和线求基底系数和最值的步骤
（1）确定值为1的等和线；
（2）平移（旋转或伸缩）该线，结合动点允许存在的区域，分析何处取得最大值和最小值；
（3）从长度比或点的位置两个角度，计算最大值和最小值.
1.（2025·济宁一模）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC（λ1，λ2为实数），则λ1＋λ2＝（
A.12 B.
C.2 D.3
2.（2025·西安模拟）如图所示，在正六边形ABCDEF中，点P是△CDE内（包括边界）的一个动点，设AP＝λAF＋μAB（λ，μ∈R），则λ＋μ的取值范围是（）
A.［32，4］ B.[3，4
C.［32，52］ D.［34