第5节幂函数与二次函数
一、单项选择题
1.探究幂函数f（x）＝xα当α＝2，3，12，－1时的性质，若该函数在定义域内为奇函数，且在（0，＋∞）上单调递增，则α＝（
A.2 B.3
C.12 D.－
2.（2025·保定模拟）已知a＝243，b＝323，c＝251
A.b＜a＜c B.a＜b＜c
C.b＜c＜a D.c＜a＜b
3.已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋1（a，b∈R，a≠0），x∈R，若函数f（x）的最小值为f（－1）＝0，则f（x）＝（）
A.x2－2x＋1 B.x2＋2x－1
C.x2＋2x＋1 D.2x2＋x－1
4.（2025·淮安模拟）若函数f（x）＝4x2－kx－8在[4，5]上是单调函数，则k的取值范围是（）
A.[32，40]
B.（－∞，32]∪[40，＋∞）
C.（－∞，32]
D.[40，＋∞）
5.（2025·宣城模拟）已知y＝（x－m）（x－n）＋2025（m＜n），且α，β（α＜β）是方程y＝0的两根，则α，β，m，n的大小关系是（）
A.α＜m＜n＜β B.m＜α＜n＜β
C.m＜α＜β＜n D.α＜m＜β＜n
6.（2025·泉州模拟）幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线（如图），设点A（1，0），B（0，1），连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xa，y＝xb的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么a－1b＝（
A.0 B.1
C.12 D.2
7.（2025·宿迁调研）已知函数f（x）＝x2＋ax＋b的值域为[2，＋∞），且满足f（1－x）＝f（1＋x），若f（x）在[m，n]上的值域为[2，6]，则n－m的最大值为（）
A.2 B.4
C.6 D.8
二、多项选择题
8.下列说法正确的是（）
A.若幂函数的图象经过点（18，2），则解析式为y＝
B.若函数f（x）＝x－45，则f（x）在区间（－∞，
C.幂函数y＝xα（α＞0）始终经过点（0，0）和（1，1）
D.若幂函数f（x）＝（2m2－2m－3）xm图象关于y轴对称，则f（－a2＋2a－5）＞f（3）
9.（2025·青岛一模）已知函数f（x）＝x2－2x＋a有两个零点x1，x2，以下结论正确的是（）
A.a＜1
B.若x1x2≠0，则1x1＋1
C.f（－1）＝f（3）
D.函数y＝f（｜x｜）有四个零点
三、填空题
10.已知函数f（x）＝（m2－m－1）xm＋1是幂函数，且在（0，＋∞）上单调递增，则f（2）＝.
11.（2025·临沂一模）已知关于x的方程ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a的取值范围是.
12.（2025·八省联考改编）已知函数f（x）＝x｜x－a｜－2a2，若当x＞2时，f（x）＞0，则a的取值范围为.
四、解答题
13.（2025·长春模拟）已知二次函数f（x）的最小值为1，且满足f（x）＝f（－2－x），f（0）＝2，点（3，13）在幂函数g（x）的图象上
（1）求f（x）和g（x）的解析式；
（2）定义函数h（x）＝f（x),f（x）≤－g（x),g（x),
14.（2025·巴中模拟）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点（0，0），（5，0），且最小值为－252
（1）求函数的解析式；
（2）当t≤x≤t＋1时，该函数的最小值为－12，求此时t的值.
15.（2025·临沂模拟）如图所示是函数y＝xmn（m，n均为正整数且m，n互质）的图象，则（
A.m，n是奇数，且mn＜1 B.m是偶数，n是奇数，且mn
C.m是偶数，n是奇数，且mn＞1 D.m，n是奇数，且mn
16.设函数f（x）＝1x，g（x）＝ax2＋bx（a，b∈R，a≠0），若y＝f（x）的图象与y＝g（x）的图象有且仅有两个不同的公共点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列判断正确的是（
A.当a＜0时，x1＋x2＜0，y1＋y2＞0 B.当a＜0时，x1＋x2＞0，y1＋y2＜0
C.当a＞0时，x1＋x2＜0，y1＋y2＜0 D.当a＞0时，x1＋x2＞0，y1＋y2＞0