等和（高）线定理及应用
平面内一个基底{OA，OB}及任一向量OP，且OP＝λOA＋μOB（λ，μ∈R），若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上，且k＝｜OP｜｜OF｜＝｜OB1｜｜OB｜＝｜OA1｜｜OA｜，则λ＋μ＝
（1）当等和线恰为直线AB时，k＝1；
（2）当等和线在O点和直线AB之间时，k∈（0，1）；
（3）当直线AB在O点和等和线之间时，k∈（1，＋∞）；
（4）当等和线过O点时，k＝0.
一、利用等和线求基底系数和的值
如图，平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，且｜OA｜＝｜OB｜＝1，｜OC｜＝23.若OC＝λOA＋μOB（λ，μ∈R），则λ＋μ＝6.
解析：法一（常规解法）如图所示，过点C作OA和OB的平行线，与它们的延长线相交，可得平行四边形，∵OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，∴∠BOC＝90°，∴∠OCD＝90°，在Rt△OCD中，｜CD｜＝｜OC｜tan30°＝23×33＝2，｜OD｜＝2｜CD｜＝4，又OC＝λOA＋μOB＝OD＋DC，∴OD＝λOA，DC＝μOB，∴｜OD｜＝λ｜OA｜，｜DC｜＝μ｜OB｜，∴λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.
法二（等和线法）如图，根据等和线定理可得｜OC｜｜OD｜＝k＝λ＋μ，k＝｜OC｜｜OD｜＝2
规律方法
利用等和线求系数和的步骤
（1）确定值为1的等和线；
（2）平移该线，作出满足条件的等和线；
（3）从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线的值.
二、利用等和线求基底系数和的最值（范围）
（2025·武汉一模）给定两个长度为3的平面向量OA和OB，它们的夹角为2π3，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若OC＝xOA＋yOB，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是2
解析：法一（常规解法）建立如图所示坐标系，则A（3，0），B（－32，332），设C（3cosα，3sinα），α∈［0，2π3］，由OC＝xOA＋yOB?（3cosα，3sinα）＝x（3，0）＋y（－32，332）＝（3x－32y，332y），化简得：x＝33sinα＋cosα，y＝233sinα，x＋y＝（33sinα＋cosα）＋233sinα＝3sinα＋cosα＝2sin（α＋π6），则当sin（α＋
法二（等和线法）如图所示，设x＋y＝k，则直线AB为k＝1的等和线，所有与直线AB平行的直线中，切线离圆心O最远，即此时k取得最大值，易知OE⊥AB，∵OA＝3，∠AOB＝2π3，∴OE＝32，则k＝｜CO｜｜OE｜＝332＝
规律方法
利用等和线求基底系数和最值的步骤
（1）确定值为1的等和线；
（2）平移（旋转或伸缩）该线，结合动点允许存在的区域，分析何处取得最大值和最小值；
（3）从长度比或点的位置两个角度，计算最大值和最小值.
△△△
1.（2025·济宁一模）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC（λ1，λ2为实数），则λ1＋λ2＝（
A.12 B.1
C.2 D.3
解析：A法一（常规解法）由题意作图如图.∵在△ABC中，DE＝DB＋BE＝12AB＋23BC＝12AB＋23（AC－AB）＝－16AB＋23AC＝λ1AB＋λ2AC，∴λ1＝－16，λ2＝
法二（等和线法）如图，过点A作AF＝DE，连接DF.设AF与BC的延长线交于点H，易知AF＝FH，∴AF＝12AH，因此λ1＋λ2＝12
2.（2025·西安模拟）如图所示，在正六边形ABCDEF中，点P是△CDE内（包括边界）的一个动点，设AP＝λAF＋μAB（λ，μ∈R），则λ＋μ的取值范围是（）
A.［32，4］ B.[3，4
C.［32，52］ D.［34
解析：B直线BF为k＝1的等和线，当P在△CDE内时，直线EC是最近的等和线，过D点的等和线是最远的，所以λ＋μ∈［ANAM，ADAM］.设正六边形的边长为2，则AN＝3，AM＝1，AD＝4，故λ＋μ∈[3，4].故选B