抽象函数求解模型化
所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数.抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的，我们所遇到的抽象函数都是以中学阶段所学的基本初等函数为背景抽象而得，解决此类问题，若能从研究抽象函数的“模型”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比、猜想出它可能为某种基本初等函数，变抽象为具体，变陌生为熟知，常可猜测出抽象函数所蕴含的重要性质，并以此作为解题的突破口，必能为我们的解题提供思路和方法.
常见的抽象函数对应的基本初等函数模型如下：
基本初等函数模型
抽象函数性质
一次函数f（x）＝kx＋b（k≠0）
f（x±y）＝f（x）±f（y）?b
幂函数f（x）＝xn
f（xy）＝f（x）f（y）或f（xy）＝
二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）
f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2axy－c
指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）
f（x＋y）＝f（x）f（y）或f（x－y）＝f
对数函数f（x）＝logax（a＞0且a≠1）
f（xy）＝f（x）＋f（y）或f（xy）＝f（x）－f（y）或f（xm）＝mf（x
余弦函数f（x）＝Acosωx（Aω≠0）
f（x）＋f（y）＝2Af（x＋y2）·f（x－y2）或f（x＋y）＋f（x－y）＝2Af
正切函数f（x）＝tanx
f（x＋y）＝f
一、以一次函数为模型的抽象函数
已知函数f（x）对任意x，y∈R，满足条件f（x）＋f（y）＝2＋f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，则不等式f（a2－2a－2）＜3的解集为{a｜－1＜a＜3}.
解析：法一（常规解法）设x1＜x2，则x2－x1＞0，∵当x＞0时，f（x）＞2，∴f（x2－x1）＞2，则f（x2）＝f[（x2－x1）＋x1]＝f（x2－x1）＋f（x1）－2＞2＋f（x1）－2＝f（x1），即f（x2）＞f（x1），∴f（x）为增函数.∵f（3）＝f（2＋1）＝f（2）＋f（1）－2＝[f（1）＋f（1）－2]＋f（1）－2＝3f（1）－4，又∵f（3）＝5，∴f（1）＝3.∴f（a2－2a－2）＜f（1），∴a2－2a－2＜1，即a2－2a－3＜0，解得不等式的解集为{a｜－1＜a＜3}.
法二（模型解法）由f（x）＋f（y）＝2＋f（x＋y），即f（x＋y）＝f（x）＋f（y）－2，可设函数f（x）＝kx＋2（k≠0），由f（3）＝5，得3k＋2＝5，k＝1，即f（x）＝x＋2，满足当x＞0时，f（x）＞2，则不等式f（a2－2a－2）＜3可化为a2－2a－2＋2＜3，即a2－2a－3＜0，解得－1＜a＜3，故不等式的解集为{a｜－1＜a＜3}.
二、以幂函数为模型的抽象函数
已知函数f（x）对任意实数x，y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当0≤x＜1时，f（x）∈[0，1）.若a≥0且f（a＋1）≤39，则a的取值范围为[0，2].
解析：法一（常规解法）设0≤x1＜x2，∴0≤x1x2＜1，f（x1）＝f（x1x2·x2）＝f（x1x2）·f（x2），∵0≤x＜1时，f（x）∈[0，1），∴0≤f（x1x2）＜1，∴f（x1）＜f（x2），故f（x）在[0，＋∞）上单调递增.∵f（27）＝9，又f（3×9）＝f（3）×f（9）＝f（3）×f（3）×f（3）＝[f（3）]3，∴9＝[f（3）]3，∴f（3）＝39，∵f（a＋1）≤39，∴f（a＋1）≤f（3），∴a＋1≤3，即a≤2，
法二（模型解法）由f（xy）＝f（x）f（y），可设函数f（x）＝xn，由f（－1）＝1，f（27）＝9，得n＝23，即f（x）＝x23，满足当0≤x＜1时，f（x）∈[0，1）.由f（a＋1）≤39，即（a＋1）23≤39，即（a＋1）23≤323，即a＋1≤3，得a≤2，又a≥
三、以二次函数为模型的抽象函数
定义在R上的函数f（x）满足f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2xy，f（1）＝2，则f（－3）＝（C）
A.2 B.3
C.6 D.9
解析：法一（常规解法）f（－3）＝f（－1）＋f（－2）＋4＝3f（－1）＋6，f（0）＝f（0）＋f（0）＋0，f（0）＝0，又f（0）＝f（1－1）＝f（1）＋f（－1）－2＝f（－1），所以f（－3）＝6.
法二（模型解法）由f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2xy，设函数f（x）＝x2＋bx，又由f（1）＝2，得b＝1，所以f（x）＝x2＋x，f（－3）＝6.
四、以指数函数为模型的抽象函数
已知函数f（x）对于一切实数x，y满足f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）f（y），且当x＜0时，f（x）＞1