圆锥曲线的方程与性质
圆锥曲线的定义与标准方程
以椭圆、双曲线和抛物线为载体，通过其定义，进行标准方程的求解及相关运算．
典例1(2023·天津卷T9)双曲线x2a2-y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2．过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P．已知|PF2|＝2，直线
A．x28-y24＝1
C．x24-y22＝1
命题立意：本题以双曲线为载体，考查双曲线的标准方程和简单几何性质，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养，属于课程学习情境．
思维拆解
解题思路
名师点拨
第1步：求点P的坐标．
第2步：根据|PF2|＝2，求出b．
第3步：根据直线PF1的斜率为24，求出a
第4步：求出双曲线的方程．
解：不妨取渐近线y＝bax，此时直线PF2的方程为y＝－ab(x－c)，与y＝bax联立并解得x=a
因为直线PF2与渐近线y＝bax垂直，所以PF2的长度即为点F2(c，0)到直线y＝bax(即bx－ay＝0)的距离，由点到直线的距离公式得|PF2|＝bca2+b2＝bc
因为F1(－c，0)，Pa2c，abc，且直线PF1的斜率为24，所以abca2c+c＝24，化简得aba2+c2＝24，又b＝2，c2＝a2＋b2，所以2a2a2+4＝24，整理得a
所以双曲线的方程为x22-y24
(1)求圆锥曲线的标准方程，一般用解析法，即把题目中的每一个几何条件都用方程或代数式逐一表示出来，然后再运算即可．
(2)易错①：椭圆与双曲线中的关系式弄混致错，椭圆中的关系式为c2＝a2－b2，双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2．
(3)易错②：确定圆锥曲线方程时要注意焦点位置．
归纳总结：求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”，所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．
典例2(2023·全国甲卷文T7)设F1，F2为椭圆C：x25＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若PF1·PF2＝0，则|PF1|·
A．1B．2C．4D．5
命题立意：本题以椭圆方程为载体，考查椭圆定义，体现了逻辑推理、数学运算等核心素养，属于课程学习情境．
思维拆解
解题思路
名师点拨
方法一：根据焦点三角形面积公式，求出△PF1F2的面积，即可解出．
方法二：根据椭圆定义及勾股定理即可解出．
解：法一：因为PF1·PF2＝0，所以∠F
从而S△PF1F2＝b2tan45°＝1＝12×|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|
故选B．
法二：因为PF1·PF2＝0，所以∠F1PF2＝90°，由椭圆方程可知，c2＝5－1＝
所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝42＝16，
又|PF1|＋|PF2|＝2a＝25，
平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝16＋2|PF1||PF2|＝20，所以|PF1|·|PF2|＝2．
故选B．
(1)涉及“焦半径”问题，常利用|MF1|＋|MF2|＝2a实现等量转化．
(2)通常将椭圆定义和余弦定理(勾股定理)结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
归纳总结：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图，设∠F1PF2＝θ．
(1)当P为短轴端点时，θ最大，S△
2S△F1PF2＝12|PF1||PF2|sinθ＝b2tan
(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c．
(4)|PF1|·|PF2|≤PF1+P
(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ．
圆锥曲线的几何性质
命题角度：(1)椭圆、双曲线的几何性质；(2)抛物线的几何性质．
典例3(2024·新高考Ⅰ卷T12)设双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB
命题立意：本题以双曲线方程为载体，考查双曲线的定义、几何性质，考查运算求解能力，属于课程学习情境．本题源自人教A版选择性必修第一册P124练习T1．
思维拆解
解题思路
名师点拨
方法一：直接法
第1步：画出大致图象(图略)，由|AB|＝10及双曲线的对称性求出|AF2|．
第2步：由双曲线定义求出a．
第3步：由勾股定理，求出c．
第4步：求离心率．
方法二：二级结论法．
解：法一：由|AB|＝10及双曲线的对称性得|AF2|＝AB2＝5
因为|AF1|＝13，所以2a＝|AF1|－|AF2|＝8，所以a＝4，
2c＝AF12-AF22＝
所以C的离心率e＝ca＝64＝
法二：由题可知A，B，F2三点横坐标相等，设A在第一象限，将x＝c代入x2a2-y2