第1节导数的概念及运算
【课标要求】（1）了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数；（2）通过函数图象，理解导数的几何意义；（3）能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数.
知识点一导数的基本概念
1.平均变化率：对于函数y＝f（x），我们把比值ΔyΔx，即ΔyΔx＝叫做函数y＝f（x）从x0到x
提醒Δx可以是正值，也可以是负值，但不为0.
2.函数y＝f（x）在x＝x0处的导数：如果当Δx→0时，平均变化率ΔyΔx无限趋近于一个确定的值，即ΔyΔx有极限，则称y＝f（x）在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f（x）在x＝x0处的导数（也称为瞬时变化率），记作f（x0）或y｜x＝x0，
3.导函数：当x变化时，y＝f（x）就是x的函数，我们称它为y＝f（x）的导函数（简称导数），y＝f（x）的导函数有时也记作y，即f（x）＝y＝limΔ
（1）（苏教选一P200习题14题改编）设f（x）在x0处可导，下列式子与f（x0）相等的是（）
A.lim
B.lim
C.lim
D.lim
（2）（人A选二P65例2改编）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.已知在第xh时，原油的温度（单位：℃）为f（x）＝x2－7x＋15（其中0≤x≤8）.则第2h～4h中，原油温度的平均变化率为，第6h时原油温度的瞬时变化率为，在第6h附近原油的温度在.（填“上升”或“下降”）
听课记录
规律方法
求函数f（x）在x＝x0处的导数的步骤
（1）求平均变化率ΔyΔx
（2）求瞬时变化率，即取极限limΔx→0Δy
提醒函数y＝f（x）的导数f（x）反映了函数f（x）的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，｜f（x）｜的大小反映了变化的快慢，｜f（x）｜越大，曲线在这点处的切线越“陡峭”.
练1（1）已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，设f（4)-f（2
A.a＜f（2）＜f（4） B.f（2）＜a＜f（4）
C.f（4）＜f（2）＜a D.f（2）＜f（4）＜a
（2）（2025·六盘水一模）将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为28π3，则m＝
知识点二导数的基本运算
1.基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导数
f（x）＝c（c为常数）
f（x）＝
f（x）＝xα（α∈R，且α≠0）
f（x）＝
f（x）＝sinx
f（x）＝
f（x）＝cosx
f（x）＝
f（x）＝ex
f（x）＝
f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）
f（x）＝
f（x）＝lnx
f（x）＝
f（x）＝logax（a＞0，
且a≠1）
f（x）＝
2.导数的运算法则
（1）[f（x）±g（x）]＝；
（2）[f（x）g（x）]＝；
（3）［f（x）g（x）］＝
3.复合函数的导数
复合函数y＝f（g（x））的导数和函数y＝f（u），u＝g（x）的导数间的关系为yx＝.
结论奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数，周期函数的导函数还是周期函数.
（1）〔多选〕（人A选二P81习题1题改编）下列求导正确的是（）
A.（x3lnx）＝3x2lnx＋x2
B.（2sinxx2）
C.[（3x＋5）3]＝9（3x＋5）2
D.［xsin（2x＋π2）cos（2x＋π2）］＝2xcos
（2）已知函数f（x）的导函数为f（x），且满足关系式f（x）＝x2＋3xf（2）＋lnx，则f（1）＝.
听课记录
规律方法
函数求导应遵循的原则
（1）求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导；
（2）抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解；
（3）复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
练2（1）（2025·阳江模拟）设函数f（x）＝exx＋a，若f（1）＝e4，
A.12 B.
C.32 D.
（2）观察（x2）＝2x，（x4）＝4x3，（cosx）＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f（x）满足f（－x）＝f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（－x）＝.
知识点三导数的几何意义
函数y＝f（x）在x＝x0处的导数f（x0）就是切线P0T的斜率k0，即k0＝limΔx→0f（
提醒区分在点处的切线与过点处的切线
（1）在点处的