“三案”破解圆锥曲线中的离心率问题
离心率是圆锥曲线的一个重要元素，它的变化直接导致曲线形状甚至是类型的变化，求圆锥曲线的离心率或范围问题是近几年高考的热点，这类问题所涉及的知识点较多、综合性强，解法灵活，内涵丰富，具有极好的素养评价功能.
一、以代数方案破解离心率问题
【例1】（1）已知椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，以｜F1F2｜
A.（22，1） B.［22，
C.（12，1） D.［12，
（2）设双曲线C：x2a2－y2＝1（a＞0）与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A，B，则双曲线的离心率e
答案：（1）A（2）（62，2）∪（2
解析：（1）因为以｜F1F2｜为直径的圆与椭圆有四个交点，所以b＜c，即b2＜c2，a2－c2＜c2，a2＜2c2，所以e2＞12，即e＞22，又因为0＜e＜1，所以椭圆离心率的取值范围为（22，1）
（2）由C与l相交于两个不同的点，知方程组x2a2－y2=1，x＋y=1有两个不同的实数解，消去y并整理得（1－a2）x2＋2a2x－2a2＝0，所以1－a2≠0，4a4+8a2（1－a2）0，解得0＜a＜2且a≠1，双曲线的离心率e＝a2+1a＝1a
点评利用代数方案破解圆锥曲线中的离心率问题就是利用代数法求出椭圆、双曲线标准方程中的参数a（b）的值或范围，进而求得离心率的值或范围.
二、以几何方案破解离心率问题
技法1从定义入手，建立参数a，b，c的关系
【例2】（1）设F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得｜PF1｜＋｜PF2｜＝3b，｜PF1｜·｜PF2｜＝9
A.43 B.5
C.94 D.
（2）P是椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）上的一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，点P到原点O的距离为焦距的一半，且｜PF1｜－｜PF2｜＝
A.64 B.10
C.32 D.
答案：（1）B（2）B
解析：（1）因为P是双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）上一点，所以｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a，又｜PF1｜＋｜PF2｜＝3b，所以（｜PF1｜＋｜PF2｜）2－（｜PF1｜－｜PF2｜）2＝9b2－4a2，所以4｜PF1｜·｜PF2｜＝9b2－4a2，又因为｜PF1｜·｜PF2｜＝94ab，所以有9ab＝9b2－4a2，即9（ba）2－9（ba）－4＝0，解得ba＝－13（舍去）或ba＝43.所以e2＝c2a2＝a2＋b2a2＝1
（2）因为P是椭圆上一点，F1，F2分别为左、右焦点，则｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，而｜PF1｜－｜PF2｜＝a，则｜PF1｜＝32a，｜PF2｜＝12a.又因为点P到原点O的距离为焦距的一半，即｜PO｜＝｜OF1｜＝｜OF2｜，故△PF1F2为直角三角形，则｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2，即（32a）2＋（12a）2＝（2c）2，解得c2a2＝58
点评本例以曲线上一点到两焦点的距离之和（差）等于某值给出，使我们自然联想到椭圆、双曲线的定义，再结合其他条件建立参数a，b，c之间的关系式，进而求得离心率的值或范围.
技法2从点的坐标入手，建立参数a，b，c的关系
【例3】（1）已知椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左焦点F（－c，0）关于直线bx＋cy＝0的对称点P
A.24 B.3
C.33 D.
（2）在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：x2＝2py（p＞0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，
答案：（1）D（2）3
解析：（1）设焦点F（－c，0）关于直线bx＋cy＝0的对称点为P（m，n），则nm＋c·（－bc）＝－1，b·m－c2＋c·n2=0，∴nm＋c＝cb，bm－bc＋nc=0，∴m＝b2c－c3b2＋c2＝（a2－2c2）ca2＝（1－2e2）c，n＝c2b
（2）C1：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的渐近线为y＝±bax，联立渐近线方程与抛物线方程得交点的坐标A（2pba，2pb2a2），B（－2pba，2pb2a2），又由于C2：x2＝2py（p＞0）的焦点F（0，p2），△OAB的垂心为C2的焦点，故有AF⊥OB，则kAF
点评从与参数a，b，c相关的点入手，利用图形中点、线所具有的平行、垂直、对称、相等、共线等几何特征，结合圆锥曲线的顶点、焦点、渐近线等相关量，建立与参数a，b，c相关的关系式，进而求得离心率的值或范围.
技法3从几何图形的特征入手，建立a，b，c的关系
【例4】（1）已知F是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的一个焦点，P