第2节导数与函数的单调性
【课标要求】（1）结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；（2）能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）；（3）会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等.
知识点导数与函数的单调性
1.函数的单调性与导数的关系
条件
恒有
结论
函数y＝f（x）在区间（a，b）上可导
f（x）＞0
f（x）在区间（a，b）内
f（x）＜0
f（x）在区间（a，b）内
f（x）＝0
f（x）在区间（a，b）内是
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数f（x）的；
第2步，求出导数f（x）的；
第3步，用f（x）的零点将f（x）的定义域划分为若干个区间，列表给出f（x）在各区间上的正负，由此得出函数y＝f（x）在定义域内的单调性.
（1）（人A选二P86例2改编）f（x）是f（x）的导函数，若f（x）的图象如图所示，则f（x）的图象可能是（）
（2）若函数f（x）＝lnx+1ex，则函数f（x
听课记录
规律方法
利用导数求函数单调区间的方法
（1）当导函数不等式可解时，解不等式f（x）＞0或f（x）＜0，求出单调区间；
（2）当方程f（x）＝0可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划分为几个区间，确定各区间f（x）的符号，从而确定单调区间；
（3）若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据f（x）的结构特征，利用图象与性质确定f（x）的符号，从而确定单调区间.
提醒若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”隔开.
练1（1）〔多选〕（2025·八省联考）在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数.双曲正切函数是一种激励函数.定义双曲正弦函数sinhx＝ex－e－x2，双曲余弦函数coshx＝ex＋e－x2
A.双曲正弦函数是增函数
B.双曲余弦函数是增函数
C.双曲正切函数是增函数
D.tanh（x＋y）＝tanh
（2）（苏教选一P213例2改编）已知定义在区间（0，π）上的函数f（x）＝x＋2cosx，则f（x）的单调递增区间为.
提能点1
含参函数的单调性
（2023·新高考Ⅰ卷19题节选）已知函数f（x）＝a（ex＋a）－x，讨论f（x）的单调性.
规律方法
解决含参函数单调性问题的注意点
（1）研究含参数的函数的单调性时，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论；
（2）划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点.
练2（2025·武汉调研节选）已知f（x）＝x22－（1＋a）x＋alnx，其中a为实数，讨论f（x）
提能点2
函数单调性的应用
角度1比较大小
（1）（2025·临沂一模）已知函数f（x）＝cosx＋ex，且a＝f（2），b＝f（12），c＝f（ln2），则a，b，c的大小关系为（）
A.a＜b＜c B.a＜c＜b
C.c＜b＜a D.b＜c＜a
（2）（2025·昆明模拟）设a＝1e，b＝ln33，c＝e－2＋ln2，则a，b，c的大小关系为（
A.a＞b＞c B.a＞c＞b
C.b＞c＞a D.c＞b＞a
听课记录
规律方法
利用导数比较大小，其关键是判断已知（或构造后）函数的单调性，利用其单调性比较大小.
角度2解不等式
（1）函数f（x）＝ex－e－x＋sinx，则不等式f（x）＞0的解集是（）
A.（0，＋∞） B.（－∞，0）
C.（0，π） D.（－π，0）
（2）（2025·成都模拟）设函数f（x）＝xsinx，若x1，x2∈［－π2，π2］，且f（x1）＜f（x2），则下列不等式恒成立的是（
A.x1＜x2 B.x1＞x2
C.x1＋x2＜0 D.x12
听课记录
规律方法
解函数不等式，如果直接求解比较烦琐时，可以通过导数研究函数的单调性，得出函数的极值、最值等性质，利用数形结合的方法确定不等式的解集.
角度3求参数的取值范围
若可导函数f（x）在（a，b）上存在单调递增区间，则当x∈（a，b）时，f（x）＞0有解；若可导函数f（x）在（a，b）上存在单调递减区间，则当x∈（a，b）时，f（x）＜0有解.
（1）若函数f（x）＝ex＋ax－12x2存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（）
A.（－1，＋∞） B