高等数学电子案武汉科技学院数理系第一节对弧长的曲线积分第1页，共40页，星期日，2025年，2月5日第十章曲线积分与曲面积分线积分和曲面积分.上一章将定积分的概念推广到重积分,被积函数是二元函数,积分区域是平面区域.如果二元函数是定义在平面上一段光滑曲线上或一片曲面上,这样推广后的积分称为曲第2页，共40页，星期日，2025年，2月5日第一节对弧长的曲线积分一对弧长曲线积分的概念与性质1.曲线型物件的质量:设曲线型物件是非均匀的,它的线密度是变量,且曲线型物件所占的位置在xoy面内的一段曲线弧L上,它的端点为A,B,在L上任意一点(x,y)处,线密度为ρ(x,y),现在要计算这物件的质量M.第3页，共40页，星期日，2025年，2月5日分割----近似代替----求和----取极限无穷细时,以均匀代替非均匀.我们分四个步骤来进行:计算思路:若构件的线密度为常量,则构件的质量为M=ρL,故当分割第4页，共40页，星期日，2025年，2月5日L分割为n个小段,取其中一小段Mi-1Mi来分析;(ξi,ηi)处的线密度ρ(ξi,ηi)代替小段的线密度,故得小段计算步骤:AB(ξiηi)xyo(1)分割:用L上的点M1,M2,…,Mn-1将(2)近似替代:当分割无穷细时,用Mi-1Mi小段上任意一点的质量近似值为:第5页，共40页，星期日，2025年，2月5日(3)求和:整个构件质量近似值为(4)取极限:第6页，共40页，星期日，2025年，2月5日为第一型曲线积分.记为设f(x,y)定义(即函数有界,或函数连续)在平面光滑曲线L上，2.对弧长的曲线积分定义A,B为L的端点,把L任意分成n段小弧.每一小段的长度为△Si,在该小段内取一点(ξi,ηi)(i=1,2..n),作乘积f(ξi,ηi)△Si，并作和式Σf(ξi,ηi)△Si.当λ→0时,这和式的极限存在,则称该极限值为函数f(x,y)沿曲线L对弧长的曲线积分,并称第7页，共40页，星期日，2025年，2月5日3.推广:若积分弧段为空间曲线弧Γ,则函数f(x,y,z)在曲线弧被积函数积分曲线注意:以后总假定被积函数f(x,y)在积分曲线L上是连续的.Γ上对弧长的曲线积分为第8页，共40页，星期日，2025年，2月5日4.对弧长的曲线积分的性质性质1线性性质其中k1,k2为常数.性质2对积分弧段C具有可加性若曲线C分段光滑,且C=C1+C2,则第9页，共40页，星期日，2025年，2月5日因为:定义中的ds对应于△Si,是每个小弧段的长度,与弧段的性质3对弧长的曲线积分与曲线的方向无关定向无关.注意这一性质和定积分不同.第10页，共40页，星期日，2025年，2月5日注意:若L为封闭曲线,则可记曲线积分为性质4设在L上f(x,y)≤g(x,y),则性质5对弧长的曲线积分有特别地第11页，共40页，星期日，2025年，2月5日oxyzM(x,y)f(x,y)C以xoy平面上的曲线C为底,变高为f(x,y)的平行于z轴的柱面对弧长的曲线积分的几何说明:的侧面面积S第12页，共40页，星期日，2025年，2月5日二对弧长曲线积分的计算公式定理设f(x,y)在曲线L上有定义且连续，其中φ(t),ψ(t)在[α,β]上具有一阶连续导数,且oyxAMBLL的参数方程为则曲线积分存在,且第13页，共40页，星期日，2025年，2月5日它们对应一列单调增加的参数值α=t0t1....tn-1tn=β.对弧长的曲线积分是找出曲线方程的参数方程,把参数方程代入被积函数(一代)把弧微分化为定积分(二化)进行计算.注意：上限β要求大于下限α.证明:假定当参数t由α变到β时,L上的点M(x,y)由A点变到B点的方向描出曲线L.在L上取一系列点A=M0,M1,M2,...Mn=B根据对弧长的曲线积分的定义,有第14页，共40页，星期日，2025年，2月5日设点(ξi,ηi)对应于参数值τi，这里ti-1≤τi≤ti，由于应用积分中值定理,我们有于是第15页，共40页，星期日，2025年，2月5日因此上式左边的曲线积分也存在,并有由于这函数在这区域上连续,所以这定积分存在,上式右端的和的极限,就是函数在区域[α,β]上的定积分,公式(1)表示,计算对弧长的曲线积分然后从α到β作定积分.把x,y,ds依次换成φ(t),ψ(t),时,只要第16页，