第1页，共32页，星期日，2025年，2月5日复习：1、矩阵的特征值与特征向量的定义与计算；设A为方阵，Au=λu(u≠0)即λ是方程|λE-A|=0的根2、矩阵的特征值与特征向量的性质3、Ak=AA…A的特征值是第2页，共32页，星期日，2025年，2月5日一、迭代法的谱半径称迭代公式中的矩阵B为迭代矩阵.定义1：定义2：设A为n阶方阵，λi(i=1,…,n)为A的特征值，称特征值模的最大值为矩阵A的谱半径，记为称为矩阵A的谱.第3页，共32页，星期日，2025年，2月5日性质：若矩阵A的谱为谱半径为则Ak=AA…Ak个的谱为(k=1,2,…)谱半径为第4页，共32页，星期日，2025年，2月5日定理：设A为任意n阶方阵，||.||为任意由向量范数诱导出的矩阵的范数，则证明：对A的任一特征值λi及相应的特征向量ui，都有因为ui为非零向量，即||ui||≠0，于是有由λi的任意性得第5页，共32页，星期日，2025年，2月5日定理：设A为n阶方阵，则对任意正数ε，存在一种矩阵范数||.||，使得（证明省略）注：对n阶方阵，一般不存在矩阵范数||.||，使得但若A为对称矩阵，则有第6页，共32页，星期日，2025年，2月5日下面的定理对建立迭代法的收敛条件十分重要.定理：设A为n阶方阵，则的充要条件为证明：必要性:若则而于是由极限存在准则，有故第7页，共32页，星期日，2025年，2月5日充分性:若取则存在一种矩阵范数||.||，使得而于是所以第8页，共32页，星期日，2025年，2月5日二、迭代法的收敛条件定理：对任意初始向量x(0)和右端项g，由迭代格式x(k+1)=Mx(k)+g产生的向量序列收敛的充要条件为第9页，共32页，星期日，2025年，2月5日证明：必要性设存在n维向量x*，使得则x*满足由迭代公式有于是有因为x(0)为任意向量，因此上式成立必须即第10页，共32页，星期日，2025年，2月5日充分性:若则λ=1不是M的特征值，所以|I－Ｍ|≠0于是对任意n维向量g，方程组(I－M)x=g有唯一解，记为x*，即并且第11页，共32页，星期日，2025年，2月5日又因为故对任意初始向量x(0)，都有即由迭代公式产生的向量序列{x(k)}收敛。推论1：若迭代矩阵满足||M||1，则迭代公式产生的向量序列{x(k)}收敛。第12页，共32页，星期日，2025年，2月5日推论2：松弛法收敛的必要条件是0ω2证明:设松弛法的迭代矩阵M有特征值因为由定理，松弛法收敛必有又因为而第13页，共32页，星期日，2025年，2月5日于是有所以注：定理表明，迭代法收敛与否只决定于迭代矩阵的谱半径，与初始向量及方程组的右端项无关。对同一方程组，由于不同的迭代法迭代矩阵不同，因此可能出现有的方法收敛，有的方法发散的情形。第14页，共32页，星期日，2025年，2月5日举例：解方程组讨论Jacobi法与Gauss-Seidel法的收敛性。解：由定理，迭代法是否收敛等价于迭代矩阵的谱半径是否＜１，故应先求迭代矩阵。而故A分解后的各矩阵分别为第15页，共32页，星期日，2025年，2月5日Jacobi迭代法的迭代矩阵为其特征方程为因此有故Jacobi法收敛第16页，共32页，星期日，2025年，2月5日如果用Gauss-Seidel迭代，由可得于是迭代矩阵为其特征方程为第17页，共32页，星期日，2025年，2月5日故所以Gauss-Seidel迭代法发散。???请思考:(1)若记不住Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的矩阵表示，怎么写出迭代矩阵？(2)试归纳判断迭代法收敛的方法？第18页，共32页，星期日，2025年，2月5日答:(1)从分量表示开始(2)先用两个推论，再用充要条件，即||M||1迭代法收敛松弛法收敛0ω2迭代法收敛第19页，共32页，星期日，2025年，2月5日第20页，共32页，星期日，2025年，2月5日