例1:某保险公司把被保险人分为三类：“安全的”、“一般的”与“危险的”。统计资料表明，对于上述3种人而言，在一年期间内发生事故的概率依次为0.05、0.15与0.30。如果在被保险人中“安全的”占15%，“一般的”占55%，“危险的”占30%，试问任一被保险人在一年中发生事故的概率是多少？第62页，共97页，星期日，2025年，2月5日由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关.全概率公式表达了它们之间的关系.A1A2A3A4A5A6A7A8B诸Ai是原因B是结果第63页，共97页，星期日，2025年，2月5日实际中还有下面一类问题，是“已知结果求原因”如果某被保险人在一年中发生了事故，则他属于“危险的”一类人的概率是多少？第64页，共97页，星期日，2025年，2月5日?贝叶斯公式设A1,A2,…,An是完备事件组,P(Ak)0(k=1,2,…,n),且 ，则B已发生的条件下，Ak发生的概率为第65页，共97页，星期日，2025年，2月5日例1：甲胎蛋白试验法是早期发现肝癌的一种有效手段。据统计，肝癌患者甲胎蛋白试验呈阳性反应的概率为95%，非肝癌患者甲胎蛋白试验呈阳性反应的概率为4%。已知某地人群中肝癌患者占0.4%，现在此地有一人用甲胎蛋白试验法进行检查，结果显示阳性，问这人确定是肝癌患者的概率是多少？第66页，共97页，星期日，2025年，2月5日例2：10个考签中有4个难签，甲乙两人依次抽签。求：a.已知甲抽到难签，求乙抽到难签的概率。b.已知乙抽到难签，求甲抽到难签的概率。第67页，共97页，星期日，2025年，2月5日全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.综合运用加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)0第68页，共97页，星期日，2025年，2月5日在相同条件下对试验E重复进行n次，其中事件A出现m次。当试验次数n充分大时，事件A出现的频率fn(A)=m/n的稳定值,称为事件A的概率，记为P(A).P=P(A)≈fn(A)=m/n?概率的统计定义第30页，共97页，星期日，2025年，2月5日2.对于较大的n，n次试验中事件A的频率，一般与事件A的概率P相差不大，试验次数n越大，频率与概率有较大偏差的情形就越少见.因此人们常取试验次数很大时事件的频率或一系列频率的平均值作为概率的估计值。频率和概率有什么区别和联系？1.频率取决于试验，而概率是先于试验而客观存在的。第31页，共97页，星期日，2025年，2月5日例如，若我们希望知道某射手中靶的概率，应对这个射手在同样条件下大量射击情况进行观察记录.若他射击n发，中靶m发，当n很大时，可用频率m/n作为他中靶概率的估计.第32页，共97页，星期日，2025年，2月5日医生在检查完病人的时候摇摇头,“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活.”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说“但你是幸运的.因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病.”第33页，共97页，星期日，2025年，2月5日?几何概率A向该正方形随机投针，求针落在红色区域A的概率1.样本空间是直线、平面或空间上的某个有限区域，含有无限多个样本点；2.各个样本点对应的基本事件的发生是等可能的。?几何概型试验第34页，共97页，星期日，2025年，2月5日设随机试验E的每一个可能结果是等可能地落在区域Ω上的一点M（称为随机点），且,则点M落在区域D（事件A)上的概率为?几何概率定义P(A)=D的几何度量Ω的几何度量其中“测度”即长度、面积或体积等。ΩD第35页，共97页，星期日，2025年，2月5日?几何概率应用1.设公共汽车每5分钟一班，求乘客在车站等车不超过1分钟的概率。3.在圆周上任取三个点A,B,C,求三角形ABC为锐角三角形的概率。2.甲、乙两人相约在8时到9时在某地会面.先到的人等候另一个人15分后即可离去.设每人在这1小时内各时刻到达该地是等可能的,且两人到达的时刻互不影响.求甲、乙两人能会面的概率.第36页，共97页，星期日，2025年，2月5日?补：蒲丰投针试验1777年,法国科学家蒲丰(Buffon)提出了投针试验问题.平面上画有等距离为a(0)的一些平行直线,现向此平面任意投掷一根长为