§9.3一元线性回归模型及其应用
(分值：80分)
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.下列两个变量中，成正相关的两个变量是()
A.汽车自身的重量与行驶每公里的耗油量
B.正方形的面积与边长
C.花费在体育活动上的时间与期末考试数学成绩
D.期末考试随机编排的准考证号与期末考试成绩总分
2.某校课外学习小组研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，由实验数据得到如图所示的散点图.由此散点图判断，最适宜作为发芽率y和温度x的回归模型的是()
A.y=a+bx B.y=a+bx2(b0)
C.y=a+bex D.y=a+blnx
3.已知变量y关于变量x的非线性经验回归方程为y^=b^lnx+0.
x
e
e3
e4
e6
e7
y
1
2
3
4
5
若x=e10，则y的值大约为()
A.4.94 B.5.74 C.6.81 D.8.04
4.为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据(如表所示)：
x
1
2
3
4
5
y
0.5
0.9
1
1.1
1.5
若已求得经验回归方程为y^=b^x+0.34，则下列选项中正确的是(
附：样本相关系数r=nΣ
A.b^=0.
B.当x=8时，y的预测值为2.2
C.两变量y与x负相关
D.去掉样本点(3，1)后，x与y的样本相关系数r不会改变
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.(2025·南昌模拟)如图对两组数据x，y和v，u分别进行回归分析，得到散点图如图，并求得经验回归方程分别是y=b^1x+a^1和u=b^2v+a^2，并对变量x，y进行线性相关检验，得到样本相关系数r1，对变量v，
A.b^10 B.
C.r1r2 D.r1+r
6.(2024·武汉模拟)某科技公司统计了一款APP，最近5个月的下载量如表所示，若y与x线性相关，且经验回归方程为y^=-0.6x+a^，则(
月份编号x
1
2
3
4
5
下载量y(万次)
5
4.5
4
3.5
2.5
A.y与x负相关
B.a^=5.
C.预测第6个月的下载量约为2.1万次
D.残差绝对值的最大值为0.2
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量的样本相关系数分别为r1=0.66，r2=-0.97，r3=0.92，r4=0.89，则这四人中，研究的两个随机变量的线性相关程度最高.
8.新能源汽车的核心部件是动力电池，电池成本占了新能源整车成本的大部分，而其中的原材料碳酸锂又是电池的主要成分.从2020年底开始，碳酸锂的价格一路水涨船高，下表是2022年某企业的前5个月碳酸锂的价格与月份的统计数据：
月份代码x
1
2
3
4
5
碳酸锂价格y(万元/kg)
0.5
0.6
1
m
1.5
根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为y^=0.28x+a^，根据数据计算出在样本点(5，1.5)处的残差为-0.06，则表中m=
四、解答题(共27分)
9.(13分)(2024·曲靖模拟)某地区2019-2023年的充电桩数量及新能源汽车的年销量如表所示：
年份
2019
2020
2021
2022
2023
充电桩数量x/万台
1
3
5
7
9
新能源汽车的年销量y/万辆
25
37
48
58
72
(1)已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用样本相关系数加以说明(结果精确到0.001)；(6分)
(2)求y关于x的线性回归方程，预测当该地区充电桩数量为24万台时，新能源汽车的年销量是多少万辆？(7分)
参考公式：
样本相关系数r=nΣ
经验回归方程y^=a^+b^x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b^=nΣi=1(
参考数据：5Σi=1(xi-x)2=40，5Σi=1(yi
10.(14分)某科技公司为加大高科技研发投入，现对近十年来高科技研发投入情况分析调研，统计了近十年的研发投入y(单位：亿元)与年份代码x共10组数据，其中年份代码x=1，2，…，10分别指2014年，2015年，…，2023年.现用模型①y=bx+a，②y=c+dx分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图.
根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中ti=xi，t=11010
y
t
10
10
10Σi=1(yi-y)·(xi-
10Σi=1(yi-y)·(ti-
75
2.25
82.5
4.5
121.4
28.82
(1)根据残差图，比较模型①②的拟合效果，判断哪个模型拟合效果更好，并说明理由；(5分)
(2)根据(1)中所选模型，求出y关于x的经验回归方程(结果保留2位小数)；根据该模型，求该公司2029年高科技研发投入y的预报值