§9.3一元线性回归模型及其应用
课标要求1.了解样本相关系数的统计含义.2.了解最小二乘法原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法.3.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测.
1.变量的相关关系
(1)相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系.
(2)相关关系的分类：正相关和负相关.
(3)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关.
2.样本相关系数
(1)r=nΣ
(2)当r0时，称成对样本数据正相关；当r0时，称成对样本数据负相关.
(3)|r|≤1；当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.
3.一元线性回归模型
(1)我们将y^=b^x+a^称为Y
其中b
(2)残差：观测值减去预测值所得的差称为残差.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)相关关系是一种非确定性关系.(√)
(2)散点图是判断两个变量相关关系的一种重要方法和手段.(√)
(3)经验回归直线y^=b^x+a^至少经过(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点.(
(4)样本相关系数越小，成对样本数据的线性相关程度越弱.(×)
2.(多选)下列说法正确的是()
A.若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则样本相关系数r的值越接近于1
B.当r=1时，两变量呈函数关系
C.当经验回归方程为y^=0.3-0.7x时，变量x和y
D.在经验回归方程y^=0.4+0.5x中，当x每增加1个单位时，相应观测值y
答案BC
解析若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则样本相关系数r的绝对值越接近于1，故A错误；当样本相关系数r=1时，两变量呈确定的函数关系，故B正确；因为斜率小于0，所以变量x和y负相关，故C正确；在经验回归方程y^=0.4+0.5x中，当x每增加1个单位时，相应观测值y
3.(2024·茂名模拟)已知变量x和y的统计数据如表：
x
1
2
3
4
5
y
6
6
7
8
8
根据上表可得经验回归方程y^=0.6x+a^，据此可以预测当x=8时，
A.8.5 B.9 C.9.5 D.10
答案D
解析依题意知，x=1+2+3+4+55=3
y=6+6+7+8+85=7
于是7=0.6×3+a^，解得a
即y^=0.6x
当x=8时，y^=0.6×
4.色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品，已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且y^=0.8x-1.8，现有一对测量数据为(33，25.2)，则该数据的残差为.
答案0.6
解析将x=33代入y^=0.8x
可得y^=0.8×
故数据(33，25.2)的残差为25.2-24.6=0.6.
1.经验回归直线过点(x，y).
2.求b^时，常用公式b^=
3.回归分析是基于成对样本观测数据进行估计或推断，得出的结论都可能犯错误.
题型一成对数据的相关性
例1(1)对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是()
A.r4r20r1r3
B.r2r40r3r1
C.r2r40r1r3
D.r4r20r3r1
答案B
解析由散点图可知，样本相关系数r2，r4所在散点图的两个变量呈负相关，r1，r3所在散点图的两个变量呈正相关，所以r1，r3都为正数，r2，r4都为负数.r1，r2所在散点图点的分布近似在一条直线上，线性相关性比较强，样本相关系数的绝对值接近1，而r3，r4所在散点图点的分布比较分散，线性相关性比较弱，则r2r4，r1r3，综上所得，r2r40r3r1.
(2)(2024·石家庄模拟)某校为了解本校高一男生身高和体重的相关关系，在该校高一年级随机抽取了7名男生，测量了他们的身高和体重得下表：
身高x(单位：cm)
167
173
175
177
178
180
181
体重y(单位：kg)
90
54
59
64
67
72
76
由表格制作成如图所示的散点图：
由最小二乘法计算得到经验回归直线l1的方程为y^=b^1x+a^1，其样本相关系数为r1；经过残差分析，点(167，90)对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的6组数据计算得到经验回归直线l2的方程为y^=b^
A.b^1b^2，a^1a
B.b^1b^2，a^1a
C.b^1b^2，a^1a
D.b^1b^2，a^1a
答案A
解析身高的平均数为167+173+175+177+178+180+1817=12317
因为点(167