必刷大题26概率与统计
1.有甲、乙两个盒子，甲盒子中装有2个小球，乙盒子中装有4个小球，每次随机取一个盒子并从中取一个球.
（1）求甲盒子中的球被取完时，乙盒子中恰剩下2个球的概率；
（2）当其中一个盒子中的球被取完时，记另一个盒子恰剩下ξ个球，求ξ的分布列与数学期望E（ξ）.
解：（1）甲盒子中的球被取完时，乙盒子中恰剩下2个球，意味着总共取了四次球，第四次取到的一定是甲盒中的球，前三次中有一次取到甲盒中的球，另外两次取的是乙盒中的球，所以P＝C32（12）2×12×
（2）由题意知：ξ的可能取值为1，2，3，4，
当ξ＝1时，总共取了5次球，剩余的一个球可能在甲盒子中，也可能在乙盒子中，
若剩余的一个球在甲（乙）盒子中，则第5次取到的是乙（甲）盒子中的球，前4次有一次取到甲盒子中的球，另外3次取到乙盒子中的球，
所以P（ξ＝1）＝C43（12）5＋C43（1
当ξ＝2时，总共取了4次球，剩余的2个球可能在甲盒子中，也可能在乙盒子中，
若剩余的2个球在甲盒子中，则4次均取到乙盒子中的球，
若剩余的2个球在乙盒子中，则第4次取到甲盒中的球，前3次有1次取到甲盒中的球，有2次取到乙盒子中的球，故P（ξ＝2）＝C44（12）4＋C32（1
当ξ＝3时，总共取了3次球，剩余的3个球一定在乙盒子中，第3次一定取到的是甲盒中的球，前2次有1次取到甲盒中的球，有1次取到乙盒子中的球，所以P（ξ＝3）＝C21（12）3
当ξ＝4时，总共取了2次球，剩余的4个球一定在乙盒子中，前2次均取到甲盒中的球，
故P（ξ＝4）＝C22（12）2
即ξ的分布列为：
ξ
1
2
3
4
P
1
1
1
1
计算可得E（ξ）＝52
2.某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了100名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，并将得分分成以下6组：[40，50），[50，60），[60，70），…，[90，100]，统计结果如图所示：
（1）试估计这100名学生得分的平均数；
（2）从样本中得分不低于70分的学生中，用分层随机抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记其得分在[90，100]的人数为ξ，试求ξ的分布列和数学期望；
（3）以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生的得分X近似地服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2，经计算s2＝42.25.所有参加知识竞赛的2000名学生中，试问得分高于77分的人数最有可能是多少？
参考数据：P（μ－σ＜X≤μ＋σ）≈0.6827，P（μ－2σ＜X≤μ＋2σ）≈0.9545，P（μ－3σ＜X≤μ＋3σ）≈0.9974.
解：（1）由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数x＝（45×0.01＋55×0.015＋65×0.02＋75×0.03＋85×0.015＋95×0.01）×10＝70.5.
（2）参加座谈的11人中，得分在[90，100]的有11×0.010.
所以ξ的可能取值为0，1，2，
所以P（ξ＝0）＝C93C113＝2855，P（ξ＝1）＝C92C21C113
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
28
24
3
所以E（ξ）＝0×2855＋1×2455＋2×355
（3）由（1）知，X～N（70.5，6.52），
所以P（X＞77）＝P（X＞μ＋σ）≈1－0
所以得分高于77分的人数最有可能是2000×0.15865≈317.
3.随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，2021年的考研人数是341万人，2022年考研人数是377万人.某省统计了该省四所大学2023年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），得到如下表格：
大学
A大学
B大学
C大学
D大学
2023年毕业人数x（千人）
7
6
5
4
2023年考研人数y（千人）
0.5
0.4
0.3
0.2
（1）已知y与x具有较强的线性相关关系，求y关于x的经验回归方程y＝bx＋a；
（2）假设该省对选择考研的大学生每人发放0.5万元的补贴.
①若该省E大学2023年毕业生人数为8千人，估计该省在E大学要发放补贴的总金额；
②若A大学的毕业生中小张、小王选择考研的概率分別为p，3p－1，该省对小张、小王两人的考研补贴总金额的期望不超过0.75万元，求p的取值范围.
参考公式：b＝??i=1nxi－xyi
解：（1）由题意得x＝4+5+6+74＝5.5
y＝0.2+0.
又??i=14xiyi＝7×0.5＋6×0.4＋5×0.3＋4×0.2＝8.2，∴??i=14xiyi－4xy＝8.2－4
∵??i=14xi2＝72＋6