第5节离散型随机变量及其分布列、数字特征
【课标要求】（1）了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量的分布列；（2）理解离散型随机变量的均值、方差的概念；（3）能计算离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单的实际问题.
知识点一离散型随机变量的分布列
1.离散型随机变量
对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有的实数X（ω）与之对应，我们称X为随机变量.可能取值为有限个或可以的随机变量，我们称为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列.
离散型随机变量的分布列也可以用如下表格表示：
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
3.离散型随机变量的分布列的性质
（1）pi≥0（i＝1，2，…，n）；
（2）p1＋p2＋…＋pn＝.
（1）已知随机变量X满足P（X＝k）＝ka，k＝1，2，3，其中a为常数，则P（1＜X≤3）＝（）
A.56B.23 C.12
（2）（湘教选二P134练习3题改编）已知随机变量X的分布列为
X
1
2
3
4
P
1
1
1
p
设Y＝2X－5，则P（Y≥1）＝.
听课记录
规律方法
离散型随机变量分布列性质的应用
（1）利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；
（2）利用“离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；
（3）可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.
练1（1）（2024·云南一中检测）设离散型随机变量ξ的分布列如表所示，则下列各式正确的是（）
ξ
－1
0
1
2
3
P
1
1
1
1
2
A.P（ξ＜3）＝25 B.P（ξ＞1）＝
C.P（2＜ξ＜4）＝25 D.P（ξ＜0.5）＝
（2）若离散型随机变量X的概率分布列如表所示，则a＝.
X
－1
1
P
4a－1
3a2＋a
知识点二离散型随机变量的均值与方差
设离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
（1）均值（数学期望）：称E（X）＝＝∑i=1nxipi为随机变量X的均值或数学期望.
（2）方差：称D（X）＝（x1－E（X））2p1＋（x2－E（X））2p2＋…＋（xn－E（X））2pn＝∑i=1n（xi－E（X））2pi为随机变量X的方差，并称D（X）为随机变量X的，记为σ
（3）均值（数学期望）与方差的性质：①E（aX＋b）＝；②D（aX＋b）＝（a，b为常数）.
结论（1）若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则
①E（k）＝k，D（k）＝0，其中k为常数；
②E（X1＋X2）＝E（X1）＋E（X2）；
③D（X）＝E（X2）－（E（X））2；
④若X1，X2相互独立，则E（X1·X2）＝E（X1）·E（X2）.
（2）若随机变量X服从两点分布，则E（X）＝p，D（X）＝p（1－p）.
角度1均值与方差的性质
（1）〔多选〕（2025·南通模拟）已知随机变量X，Y，其中Y＝3X＋1，随机变量X的分布列如表
X
1
2
3
4
5
P
m
1
1
n
3
若E（X）＝3，则（）
A.m＝310 B.n＝
C.E（Y）＝10 D.D（Y）＝21
（2）已知随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P
a
b
2b－a
则D（3X－1）的最大值为.
听课记录
规律方法
与均值、方差性质有关问题的解题思路
若给出的随机变量Y与X的关系为Y＝aX＋b，a，b为常数，一般思路是先求出E（X），D（X），再利用公式E（aX＋b）＝aE（X）＋b，D（aX＋b）＝a2D（X）求E（Y），D（Y）；也可以利用X的分布列得到Y的分布列，关键是由X的取值计算Y的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E（Y）或D（Y）.
角度2离散型随机变量的均值与方差
不透明袋中装有质地、大小相同的4个红球，m个白球，若从中不放回地取出2个球，在第一个取出的球是红球的前提下，第二个取出的球是白球的概率为58.
（1）求白球的个数m；
（2）若有放回地取出两个球，记取出的红球个数为X，求X的分布列、数学期望和方差.
规律方法
求离散型随机变量X的均值与方差的步骤
（1）理解X的意义，写出X可能的全部值；
（2）求X取每个值的概率；
（3）写出X的