第5节离散型随机变量及其分布列、数字特征
【课标要求】（1）了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量的分布列；（2）理解离散型随机变量的均值、方差的概念；（3）能计算离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单的实际问题.
知识点一离散型随机变量的分布列
1.离散型随机变量
对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X（ω）与之对应，我们称X为随机变量.可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P（X＝xi）＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列.
离散型随机变量的分布列也可以用如下表格表示：
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
3.离散型随机变量的分布列的性质
（1）pi≥0（i＝1，2，…，n）；
（2）p1＋p2＋…＋pn＝1.
（1）已知随机变量X满足P（X＝k）＝ka，k＝1，2，3，其中a为常数，则P（1＜X≤3）＝（A）
A.56 B.
C.12 D.
（2）（湘教选二P134练习3题改编）已知随机变量X的分布列为
X
1
2
3
4
P
1
1
1
p
设Y＝2X－5，则P（Y≥1）＝12
解析：（1）依题意，1a＋2a＋3a＝1，解得a＝6，则P（X＝k）＝k6，k＝1，2，3，所以P（1＜X≤3）＝P（X＝2）＋P（X＝3）＝13＋12
（2）由题意得16＋13＋16＋p＝1，解得p＝13，故Y＝2X－5≥1，即X≥3，所以P（Y≥1）＝P（X≥3）＝P（X＝3）＋P（X＝4）＝16
规律方法
离散型随机变量分布列性质的应用
（1）利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；
（2）利用“离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；
（3）可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.
练1（1）（2024·云南一中检测）设离散型随机变量ξ的分布列如表所示，则下列各式正确的是（C）
ξ
－1
0
1
2
3
P
1
1
1
1
2
A.P（ξ＜3）＝25 B.P（ξ＞1）＝
C.P（2＜ξ＜4）＝25 D.P（ξ＜0.5）＝
（2）若离散型随机变量X的概率分布列如表所示，则a＝13
X
－1
1
P
4a－1
3a2＋a
解析：（1）P（ξ＜3）＝110＋15＋110＋15＝35，A错误；P（ξ＞1）＝15＋25＝35，B错误；P（2＜ξ＜4）＝P（ξ＝3）＝25，C正确；P（ξ＜0.5）＝
（2）由离散型随机变量X的概率分布列知：4a－1＋3a2＋a＝1，解得a＝13或a＝－2.当a＝－2时，4a－1＝－9，3a2＋a＝10，不符合题意；当a＝13时，4a－1＝13，3a2＋a＝23，符合题意.所以
知识点二离散型随机变量的均值与方差
设离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
（1）均值（数学期望）：称E（X）＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝∑i=1nxipi为随机变量X的均值或数学期望.它反映了随机变量取值的
（2）方差：称D（X）＝（x1－E（X））2p1＋（x2－E（X））2p2＋…＋（xn－E（X））2pn＝∑i=1n（xi－E（X））2pi为随机变量X的方差，并称D（X）为随机变量X的标准差，记为σ（X
（3）均值（数学期望）与方差的性质：①E（aX＋b）＝aE（X）＋b；②D（aX＋b）＝a2D（X）（a，b为常数）.
结论（1）若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则
①E（k）＝k，D（k）＝0，其中k为常数；
②E（X1＋X2）＝E（X1）＋E（X2）；
③D（X）＝E（X2）－（E（X））2；
④若X1，X2相互独立，则E（X1·X2）＝E（X1）·E（X2）.
（2）若随机变量X服从两点分布，则E（X）＝p，D（X）＝p（1－p）.
角度1均值与方差的性质
（1）〔多选〕（2025·南通模拟）已知随机变量X，Y，其中Y＝3X＋1，随机变量X的分布列如表
X
1
2
3
4
5
P
m
1
1
n
3
若E（X）＝3，则（AC）
A.m＝310 B.n＝
C.E（Y）＝10 D.D（Y）＝21
解析：（1）由m＋110＋15＋n＋310＝1可得：m＋n＝25①，因为E（X）＝m＋2×110＋3×15＋4n＋5×310＝3，则m＋4n＝710②，所以由①②可得：n＝110，m＝310，故A正确，B错误；因为E（Y）＝E（3X＋1）＝3E（X）＋1＝10，故C正确；D（X）＝（1－3）2×310＋（2－3）2×110＋（3－3）2