第2节用样本的数字特征估计总体
【课标要求】（1）能用样本估计总体的集中趋势参数（平均数、中位数、众数）、离散程度参数（标准差、方差、极差），理解集中趋势参数和离散程度参数的统计含义；（2）能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义；（3）会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.
知识点一总体百分位数的估计
1.百分位数
定义
意义
百分位数
一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中有p%的数据小于或等于这个值，且至少有（100－p）%的数据大于或等于这个值
反映该组数中小于或等于该百分位数的分布特点
2.求一组n个数据的第p百分位数的步骤
第1步：按从小到大排列原始数据；
第2步：计算i＝；
第3步：若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第（i＋1）项数据的平均数.
（1）（2024·新余二模）一个容量为10的样本，其数据依次为：9，2，5，10，16，7，18，21，20，3，则该组数据的第60百分位数为（）
A.9 B.10
C.13 D.16
（2）某校从参加高一物理期末考试的学生中随机抽出60名，将其物理成绩（均为整数）分成六组：[40，50），[50，60），…，[90，100]，并绘制成如图所示的频率分布直方图.由此估计此次高一物理期末考试成绩的第75百分位数为.
听课记录
规律方法
1.总体百分位数的估计需要注意的两个问题
（1）总体百分位数估计的基础是样本百分位数的计算，因此计算准确是关键；
（2）由于样本量比较少，因此对总体的估计可能存在误差，因此对总体百分位数的估计一般是估计值而非精确值.
2.由频率分布直方图求第p百分位数的方法
确定要求的p%分位数所在分组[A，B），由频率分布表或频率分布直方图可知，样本中小于A的频率为a，小于B的频率为b，所以p%分位数＝A＋组距×p%
练1（1）（2025·唐山模拟）某校高三年级一共有1200名同学参加数学测验，已知所有学生成绩的第80百分位数是103分，则数学成绩不小于103分的人数至少为（）
A.220 B.240
C.250 D.300
（2）若数据3.2，3.4，3.8，4.2，4.3，4.5，x，6.6的第65百分位数是4.5，则实数x的取值范围是.
知识点二总体集中趋势的估计
名称
概念
平均数
（1）平均数：如果有n个数x1，x2，…，xn，那么1n（x1＋x2＋…＋xn）就是这组数据的平均数，用x表示，即x＝
（2）加权平均数：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个.不妨记为y1，y2，…，yk，其中yi出现的频数为fi（i＝1，2，…，k），则加权平均数为y＝1N∑i=1
中位数
将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在的一个数据（数据个数是奇数）或最中间两个数据的（数据个数是偶数）叫做这组数据的中位数
众数
一组数据中出现次数最多的数据（即频数最大值所对应的样本数据）叫做这组数据的众数
结论（1）若x1，x2，…，xn的平均数为x，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为mx＋a；
（2）频率分布直方图中的常见结论
①众数的估计值为最高矩形底边的中点对应的横坐标；②平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和；③中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的.
（1）某射击运动员进行打靶练习，已知打十枪每发的环数分别为9，10，7，8，10，10，6，8，9，7，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（）
A.a＞b＞c B.c＞a＞b
C.b＞c＞a D.c＞b＞a
（2）（2024·新高考Ⅱ卷4题）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理得下表：
亩产
量
[900，
950）
[950，
1000）
[1000，
1050）
[1050，
1100）
[1100，
1150）
[1150，
1200）
频数
6
12
18
30
24
10
根据表中数据，下列结论中正确的是（）
A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kg
B.100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%
C.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间
D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间
听课记录