第五节离散型随机变量及其分布列、数字特征
通过具体实例,了解离散型随机变量的概念,理解离散型随机变量分布列及其数字特征(均值、方差).
1.袋中有大小相同的6个黑球,5个白球,从袋中每次任意取出1个球且不放回,直到取出的球是白球,记所需要的取球次数为随机变量X,则X的可能取值为()
A.1,2,3,…,6 B.1,2,3,…,7
C.0,1,2,…,5 D.1,2,…,5
解析:B因为取到白球时停止,所以最少取球次数为1,即第一次就取到了白球;最多取球次数是7次,即把所有的黑球取完之后才取到白球.所以取球次数可以是1,2,3,…,7.
2.某一随机变量ξ的概率分布如表所示,且m+2n=1.2,则m-n2=(
ξ
0
1
2
3
P
0.1
m
n
0.1
A.-0.2 B.0.2
C.0.1 D.-0.1
解析:B由离散型随机变量分布列的性质可得m+n+0.2=1,又m+2n=1.2,解得m=n=0.4,可得m-n2=
3.设随机变量X的概率分布如表所示,且E(X)=2.5,则a-b=()
X
1
2
3
4
P
1
3
a
b
A.34 B.3
C.316 D.
解析:C由题意得,14+316+a+b=1,1
4.随机变量X的取值为0,1,2,若P(X=0)=14,E(X)=1,则D(X)=(
A.14 B.
C.34 D.
解析:B设P(X=1)=p,P(X=2)=q,由题意得E(X)=0×14+p+2q=1,14+p+q=1,解得p=12,q=14,∴D(X)=14×(0-1)2+12×(1-1)2+14×(2-1
1.若Y=aX+b,其中a,b是常数,X是随机变量,则
(1)E(k)=k,D(k)=0,其中k为常数;
(2)E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X);
(3)E(X1+X2)=E(X1)+E(X2);
(4)D(X)=E(X2)-(E(X))2;
(5)若X1,X2相互独立,则E(X1·X2)=E(X1)·E(X2).
2.若随机变量X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p).
1.已知随机变量ξ和η,其中η=12ξ+7,且E(η)=34,若ξ的分布列如下表,则m=()
ξ
1
2
3
4
P
1
m
n
1
A.13 B.
C.16 D.
解析:A∵η=12ξ+7,由结论1得E(η)=12E(ξ)+7,即E(η)=12(1×14+2×m+3×n+4×112)+7=34,∴2m+3n=53,①.又14+m+n+112=1,∴m+n=23,②.由①②
2.在篮球比赛中,罚球命中1次得1分,不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8,那么他罚球1次的得分X的均值为.
答案:0.8
解析:由结论2易得E(X)=0.8.
分布列的性质
1.(2024·济宁一模)离散型随机变量X的概率分布规律为P(X=n)=an(n+1)(n=1,2,3,4),其中a是常数,则P(12<X
A.23B.
C.45 D.
解析:D因为P(X=n)=an(n+1)(n=1,2,3,4),所以a2+a6+a12+a20=1,即a=54,所以P(12<X<52)=P(X=1)+P(X=2
2.(2024·云南一中检测)设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示,则下列各式正确的是()
ξ
-1
0
1
2
3
P
1
1
1
1
2
A.P(ξ<3)=25 B.P(ξ>1)=
C.P(2<ξ<4)=25 D.P(ξ<0.5)=
解析:CP(ξ<3)=110+15+110+15=35,A错误;P(ξ>1)=15+25=35,B错误;P(2<ξ<4)=P(ξ=3)=25,C正确;P(ξ<0.5)=
3.已知随机变量X的分布列为
X
-1
0
1
P
a
b
c
其中a,b,c成等差数列,则P(|X|=1)=,公差d的取值范围是.
答案:23[-13,
解析:因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c.又a+b+c=1,所以b=13,因此P(|X|=1)=a+c=23.又a=13-d,c=13+d,根据分布列的性质,得0≤13-d≤23,0≤13+d≤23,
练后悟通
离散型随机变量分布列性质的应用
(1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值;
(2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率;
(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.
离散型随机变量的均值与方差
考向1均值与方差的性质
【例1】(多选)设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
q
0.4
0.1
0.2
0.2
若离散型随机变量Y满