第3节变量间的相关关系及回归模型
【课标要求】（1）了解样本相关系数的统计含义，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性；（2）了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法；（3）针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测.
知识点一成对数据的相关性
1.变量的相关关系
（1）相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系；
（2）相关关系的分类：和；
（3）线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在附近，我们就称这两个变量线性相关.
提醒注意相关关系与函数关系的区别：函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系.
2.样本相关系数
（1）样本相关系数r＝∑i
（2）样本相关系数r的性质
①当r＞0时，称成对样本数据相关；当r＜0时，称成对样本数据相关；当r＝0时，称成对样本数据间没有线性相关关系；
②样本相关系数r的取值范围为.当｜r｜越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越；当｜r｜越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越.
（2022·全国乙卷理19题）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2）和材积量（单位：m3），得到如下数据：
样本号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总和
根部横截
面积xi
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
材积量yi
0.25
0.40
0.22
0.54
0.51
0.34
0.36
0.46
0.42
0.40
3.9
并计算得∑i=110xi2＝0.038，∑i=110yi2＝1.6158，
（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；
（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.
附：相关系数r＝∑i=1n（xi－
规律方法
样本相关系数r的统计含义及应用
（1）由r的正、负可判断成对样本数据中两相关变量是正相关还是负相关；
（2）可根据｜r｜的大小从量的角度判断成对样本数据是否具有线性相关性，进而可知能否用经验回归方程进行分析和预测；
（3）当｜r｜≤0.25时，即便求得了经验回归方程也没有任何统计意义.
练1（1）已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关.下列结论中正确的是（）
A.x与y正相关，x与z负相关
B.x与y正相关，x与z正相关
C.x与y负相关，x与z负相关
D.x与y负相关，x与z正相关
（2）对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是（）
A.r2＜r4＜0＜r3＜r1
B.r4＜r2＜0＜r1＜r3
C.r4＜r2＜0＜r3＜r1
D.r2＜r4＜0＜r1＜r3
知识点二一元线性回归模型
1.经验回归直线：从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做经验回归直线.
2.经验回归方程为y＝bx＋a，其中b＝∑i=1n（xi－x)(
3.通过求Q＝∑i=1n（yi－bxi－a）2的最小值而得到经验回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小
结论（1）经验回归直线一定过点（x，y）；
（2）y与x正相关的充要条件是b＞0，y与x负相关的充要条件是b＜0；
（3）当x增大一个单位时，y增大b个单位.
某饮料店为了推广“秋天的第一杯奶茶”，需了解一天的平均气温与奶茶销量之间的关系，为此记录了周一至周五的平均气温x（℃）与奶茶销量y（杯）的数据，如表所示：
x
9
11
12
10
8
y
23
26
30
25
21
（1）画出散点图；
（2）根据上表提供的数据，求出y关于x的经验回归方程y＝bx＋a；
（3）试根据（2）中求出的经验回归方程，预测平均气温约为20℃时该饮料店的奶茶销量.
规律方法
线性回归分析问题的解题策略
（1）利用最小二乘估计公式，求出回归系数b；
（2）利用经验回归直线过样本点的中心求系数a；
（3）写出经验回归方程，并利用经验回归方程进行预测.
练2（1）已知变量x与y，且观测数据如下表（其中6.5＞a＞4＞b＞1，