第3课时成对数据的统计分析
[考试要求]1．了解样本相关系数的统计含义．2．理解一元线性回归模型和2×2列联表，会运用这些方法解决简单的实际问题．3．会利用统计知识进行数据分析．
1．变量的相关关系
两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系，即不确定性关系．
2．相关关系的分类
(1)按变量间的增减性分为正相关和负相关．
①正相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势；
②负相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减小的趋势．
(2)按变量间是否有线性特征分为线性相关和非线性相关(曲线相关)．
①线性相关：如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关；
②非线性相关或曲线相关：如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，我们称这两个变量非线性相关或曲线相关．
3．相关关系的刻画
(1)散点图：成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图，叫做散点图．
(2)样本相关系数r的计算式
(3)样本相关系数r的性质
①样本相关系数r的取值范围为[－1，1]；
②若r0时，成对样本数据正相关；
③若r0时，成对样本数据负相关；
④样本相关系数与相关程度
当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；
当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱．
提醒：当两个变量的样本相关系数|r|＝1时，两个变量呈函数关系．
4．一元线性回归模型与最小二乘法
(1)一元线性回归模型
称Y=bx+a+e，Ee=0，De=σ2为Y关于x的一元线性回归模型．其中，Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx＋
(2)最小二乘法
将y＝bx＋a称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的b，a叫做b，a的最小二乘估计，其中
b＝，a＝y－bx．
5．刻画回归效果的方式
(1)残差图法
在残差图中，残差比较均匀地分布在以横轴为对称轴的水平的带状区域中，说明满足一元线性回归模型的假设，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高．
(2)残差平方和法
残差平方和为，残差平方和越小，模型拟合效果越好．
(3)决定系数法
R2＝R2的值越趋近于1，模型的拟合效果越好．
6．列联表与独立性检验
(1)分类变量X，Y的2×2列联表：
X
Y
合计
Y＝0
Y＝1
X＝0
a
b
a＋b
X＝1
c
d
c＋d
合计
a＋c
b＋d
n＝a＋b＋c＋d
则χ2＝nad?bc
(2)利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验．
(3)χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
[常用结论]
经验回归直线必过样本点的中心(x，
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系． ()
(2)样本相关系数的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强．()
(3)若事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的χ2的观测值越小．()
(4)经验回归方程y＝bx＋a中，若a＜0，则变量x和y负相关． ()
[答案](1)√(2)√(3)×(4)×
二、教材经典衍生
1．(人教A版选择性必修第三册P103习题8.1T1改编)下列四个散点图中，变量x与y之间具有负的线性相关关系的是()
AB
CD
D[观察散点图可知，只有D选项的散点图表示的是变量x与y之间具有负的线性相关关系．]
2．(人教A版选择性必修第三册P103练习T3改编)在一次试验中，测得(x，y)的四组值分别为(1，2)，(2，0)，(4，－4)，(－1，6)，则y与x的样本相关系数为()
A．12B．－1C．0D．－
B[根据题意得x＝14×(1＋2＋4－1)＝1.5，y＝14×(2＋0－4＋6)＝1，＝－20，样本相关系数r＝?20?4×1.5×1
故选B．]
3．(人教A版选择性必修第三册P113练习T2改编)从某学校随机选取8名女大学生，关于其身高x(单位：cm)和体重y(单位：kg)的经验回归方程为y＝0.849x－85.712，则身高172cm的女大学生的体重约为________kg．
60.316[当x＝172时，y＝0.849×172－85.712＝60.316．