二项分布与超几何分布中的最值问题——极大似然估计
人A选三P81探究与发现研究了二项分布的有关性质，你明白研究此类问题的方法吗？实际上，这类通过若干次试验，观察其结果，利用试验结果得到某个参数值能够使样本出现的概率为最大，则称为极大似然估计.
极大似然估计是建立在极大似然原理的基础上的一个统计方法，是概率论在统计学中的应用.极大似然估计提供了一种给定观察数据来评估模型参数的方法，即：“模型已定，参数未知”.
一、二项分布中的最值问题
1.当p给定时，可得到函数f（k）＝Cnkpk·（1－p）n－k，k＝0，1，2，…，n，这个是数列的最值问题：pkpk－1＝Ckn
当k＜（n＋1）p时，pk＞pk－1，pk随k值的增大而增大；当k＞（n＋1）p时，pk＜pk－1，pk随k值的增大而减小.如果（n＋1）p为正整数，当k＝（n＋1）p时，pk＝pk－1，此时这两项概率均为最大值.如果（n＋1）p为非整数，而k取（n＋1）p的整数部分，则pk是唯一的最大值.
提醒在二项分布中，若数学期望为整数，则当随机变量k等于期望时，概率最大.
2.当k给定时，可得到函数f（p）＝Cnkpk·（1－p）n－k，p∈（0，1），这个是函数的最值问题，可以用导数求函数最值与最值点：f（p）＝Cnk[kpk－1（1－p）n－k－pk（n－k）·（1－p）n－k－1]＝Cnkpk－1（1－p）n－k－1[k（1－p）－（n－k）p]＝Cnkpk－1（1－p）n－
当k＝1，2，…，n－1时，由于当p＜kn时，f（p）＞0，f（p）单调递增，当p＞kn时，f（p）＜0，f（p）单调递减，故当p＝kn时，f（p）取得最大值，f（p）max＝f（kn）.又当p→0，f（p）→0，当p→1时，f（p）→0，从而f（
角度1“p定型”二项分布的最值
目前不少网络媒体都引入了虚拟主播，某视频平台引入虚拟主播A，在第1天的直播中有超过100万次的观看.
（1）已知小李第1天观看了虚拟主播A的直播，若小李前一天观看了虚拟主播A的直播，则当天观看虚拟主播A的直播的概率为13，若前一天没有观看虚拟主播A的直播，则当天观看虚拟主播A的直播的概率为35，求小李第2天与第3天至少有一天观看虚拟主播A
（2）若未来10天内虚拟主播A的直播每天有超过100万次观看的概率均为23，记这10天中每天有超过100万次观看的天数为X.问k为何值时，P（X＝k）最大
规律方法
本题解题的关键是理解X服从二项分布B（10，23），结合二项分布的概率公式，利用P（X＝k+1）P（X＝k）＝2（10－k）k
角度2“k定型”二项分布的最值
（2024·吉安期中）本届杭州亚运会是首届采用云上转播的亚运会，预计在云上传输最大60路高清和超高清信号，某企业负责生产所需的某种高清转播设备，设生产该款设备的次品率为p（0＜p＜1），且各套设备的生产互不影响.
（1）生产该款设备需要两道工序，且互不影响，假设每道工序的次品率依次为p1＝110，p2＝1
①求p；
②现对该企业生产的设备进行自动智能检测，自动智能检测为次品（注：合格品不会被误检成次品）的设备会被自动淘汰，若自动智能检测为合格，则再进行人工抽检，已知自动智能检测显示该款设备的合格率为96%，求人工抽检时，抽检的一套设备是合格品的概率.
（2）视p为概率，记从该企业生产的设备中随机抽取n套，其中恰含m（n＞m）个次品的概率为f（p），求证：f（p）在p＝mn时取得最大值
规律方法
本题解题的关键是在寻求f（p）＝Cnmpm·（1－p）n－m（0＜p＜1）的最大值时，把f（p）理解为p的函数，
二、超几何分布中的最值问题
将从a件次品，b件正品中取出n件产品的可能组合的全体作为样本点，总数为Ca＋bn.其中，次品出现k次的可能为CakCbn－k.令N＝a＋b，则所求概率为hk（N）＝CakCN－an－kCNn，即hk（N）hk（N－1）＝CakCN－an－kCNnCakCN－1－an－kCN－1n＝N2－aN－
（1）一个袋中有形状、大小完全相同的100个小球，其中n（2≤n≤92）个红球，其余为白球.从中一次性任取10个小球，将“恰好含有2个红球”的概率记为f（n），则f（n）取得最大值时n＝（）
A.10 B.20
C.30 D.40
（2）（2024·浙江Z20联考节选）2023年中央一号文件指出，民族要复兴，乡村必振兴.为助力乡村振兴，某电商平台准备为某地的农副特色产品开设直播带货专场直播前，此平台用不同的单价试销.并在购买的顾客中进行体验调查问卷.已知有N（N＞30）名热心参与问卷的顾客，此平台决定在直播中专门为他们设置两次抽奖活动，每次抽奖都是由系统独立、随机地从这N名顾客中抽取20名顾客，抽中顾客