二项分布与超几何分布中的最值问题——极大似然估计
人A选三P81探究与发现研究了二项分布的有关性质，你明白研究此类问题的方法吗？实际上，这类通过若干次试验，观察其结果，利用试验结果得到某个参数值能够使样本出现的概率为最大，则称为极大似然估计.
极大似然估计是建立在极大似然原理的基础上的一个统计方法，是概率论在统计学中的应用.极大似然估计提供了一种给定观察数据来评估模型参数的方法，即：“模型已定，参数未知”.
一、二项分布中的最值问题
1.当p给定时，可得到函数f（k）＝Cnkpk（1－p）n－k，k＝0，1，2，…，n，这个是数列的最值问题：pkpk－1＝Ckn
当k＜（n＋1）p时，pk＞pk－1，pk随k值的增大而增大；当k＞（n＋1）p时，pk＜pk－1，pk随k值的增大而减小.如果（n＋1）p为正整数，当k＝（n＋1）p时，pk＝pk－1，此时这两项概率均为最大值.如果（n＋1）p为非整数，而k取（n＋1）p的整数部分，则pk是唯一的最大值.
提醒在二项分布中，若数学期望为整数，则当随机变量k等于期望时，概率最大.
2.当k给定时，可得到函数f（p）＝Cnkpk（1－p）n－k，p∈（0，1），这个是函数的最值问题，可以用导数求函数最值与最值点：f（p）＝Cnk[kpk－1（1－p）n－k－pk（n－k）·（1－p）n－k－1]＝Cnkpk－1（1－p）n－k－1[k（1－p）－（n－k）p]＝Cnkpk－1（1－p）n－
当k＝1，2，…，n－1时，由于当p＜kn时，f（p）＞0，f（p）单调递增，当p＞kn时，f（p）＜0，f（p）单调递减，故当p＝kn时，f（p）取得最大值，f（p）max＝f（kn）.又当p→0，f（p）→0，当p→1时，f（p）→0，从而f（
角度1“p定型”二项分布的最值
目前不少网络媒体都引入了虚拟主播，某视频平台引入虚拟主播A，在第1天的直播中有超过100万次的观看.
（1）已知小李第1天观看了虚拟主播A的直播，若小李前一天观看了虚拟主播A的直播，则当天观看虚拟主播A的直播的概率为13，若前一天没有观看虚拟主播A的直播，则当天观看虚拟主播A的直播的概率为35，求小李第2天与第3天至少有一天观看虚拟主播A
（2）若未来10天内虚拟主播A的直播每天有超过100万次观看的概率均为23，记这10天中每天有超过100万次观看的天数为X.问k为何值时，P（X＝k）最大
解：（1）由已知小李第2天和第3天都没有观看虚拟主播A直播的概率为（1－13）×（1－35）＝23×2
所以小李第2天和第3天至少有一天观看虚拟主播A直播的概率为1－415＝11
（2）由已知X服从二项分布B（10，23），所以P（X＝k）＝C
由P（X＝k+1）P（X
当k≤6时，2（10－k）k+1＞1，所以P（X＝k+1）P（X＝k
当k≥7时，2（10－k）k+1＜1，所以P（X＝k+1）P（X＝k
综上，当k＝7时，P（X＝k）最大.
规律方法
本题解题的关键是理解X服从二项分布B（10，23），结合二项分布的概率公式，利用P（X＝k+1）P（X＝k）＝2（10－k）k
角度2“k定型”二项分布的最值
（2024·吉安期中）本届杭州亚运会是首届采用云上转播的亚运会，预计在云上传输最大60路高清和超高清信号，某企业负责生产所需的某种高清转播设备，设生产该款设备的次品率为p（0＜p＜1），且各套设备的生产互不影响.
（1）生产该款设备需要两道工序，且互不影响，假设每道工序的次品率依次为p1＝110，p2＝1
①求p；
②现对该企业生产的设备进行自动智能检测，自动智能检测为次品（注：合格品不会被误检成次品）的设备会被自动淘汰，若自动智能检测为合格，则再进行人工抽检，已知自动智能检测显示该款设备的合格率为96%，求人工抽检时，抽检的一套设备是合格品的概率.
（2）视p为概率，记从该企业生产的设备中随机抽取n套，其中恰含m（n＞m）个次品的概率为f（p），求证：f（p）在p＝mn时取得最大值
解：（1）①因为两道生产工序互不影响，所以p＝1－（1－p1）（1－p2）＝29200
②记该款设备自动智能检测合格为事件A，人工抽检合格为事件B，
且P（A）＝96%，P（AB）＝1－p＝171200
则人工抽检时，抽检的一套设备恰是合格品的概率为P（B｜A）＝P（AB）
（2）证明：因为各套设备的生产互不影响，所以f（p）＝Cnmpm（1－p）n－m（0＜p＜
则f（p）＝Cnm[mpm－1（1－p）n－m－（n－m）·pm（1－p）n－m－1]＝Cnmpm－1（1－p）n－m－1（
令f（p）＝0，得p＝mn
当0＜p＜mn时，f（p）＞0，f（p）单调递增
当mn＜p＜1时，f（p）＜0，f（p）单调递减
所以