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第16天实际问题中的建模问题（确保120分）
十年高考（新课标1卷）
考查阐述（考点、考向、交汇点等）
试题难度（低，中，高）
2015
指数模型的运算
低
2016
未考查
2017
对数模型的运算
低
2018
未考查
2019
建立函数模型解决实际问题
中
2020
指数模型的运算
低
2021
对数模型的运算
低
2022
对数模型的运算
低
2023
对数模型的运算
低
2024
对数模型的运算
低
命题热度预测2025
高考对函数模型的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．2025年高考可能结合函数与生活应用进行考察，对学生建模能力和数学应用能力综合考察．
【2015四川】
1．某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：℃）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）.若该食品在℃的保鲜时间是小时，在℃的保鲜时间是小时，则该食品在℃的保鲜时间是
A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．21小时
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】利用给定函数模型解决实际问题
【详解】试题分析：，两式相除得，解得，那么，当时，故选C．
考点：函数的应用
【2017北京】
2．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是
（参考数据：lg3≈0.48）
A．1033 B．1053
C．1073 D．1093
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用
【详解】试题分析：设，两边取对数，，所以，即最接近，故选D.
【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含，，.
【2019新课标Ⅱ卷】
3．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：
.
设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为
A． B．
C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题
【分析】本题在正确理解题意的基础上，将有关式子代入给定公式，建立的方程，解方程、近似计算．题目所处位置应是“解答题”，但由于题干较长，易使考生“望而生畏”，注重了阅读理解、数学式子的变形及运算求解能力的考查．
【详解】由，得
因为，
所以，
即，
解得，
所以
【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形出错．
【2020新高考Ⅰ卷】
4．基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)（????）
A．1.2天 B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】指数函数模型的应用（2）、利用给定函数模型解决实际问题、对数的运算性质的应用
【分析】根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果.
【详解】因为，，，所以，所以，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，
则，所以，所以，
所以天.
故选：B.
【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.
【2021全国甲卷】
5．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（????）（）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】指数式与对数式的互化
【分析】根据关