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第4天一元二次不等式恒（能）成立问题
（确保120分）
十年高考（新课标1卷）
考查阐述（考点、考向、交汇点等）
试题难度（低，中，高）
2015
未考查
2016
未考查
2017
天津卷：一元二次不等式在R恒成立
中
2018
天津卷：一元二次不等式在区间恒成立
中
2019
未考查
2020
未考查
2021
未考查
2022
未考查
2023
未考查
2024
未考查
命题热度预测2025
在高考中一元二次恒成立问题一般不单独考查，常作为求最值问题的一种工具．那么2025年高考很可能延续这种态势，只需要对常见的几种方法掌握即可．
1．【2017天津卷】已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是（????）
A．????B．????C．????D．
【答案】A
【解析】不等式为(*)，
当时，(*)式即为，，
又（时取等号），
（时取等号），
所以，
当时，(*)式为，，
又（当时取等号），
（当时取等号），
所以，
综上．故选A．
2．【2018天津】已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是．
【答案】
【解析】分类讨论：①当时，即：，
整理可得：，
由恒成立的条件可知：，
结合二次函数的性质可知：
当时，，则；
②当时，即：，整理可得：，
由恒成立的条件可知：，
结合二次函数的性质可知：
当或时，，则；
综合①②可得的取值范围是，故答案为．
（在R上的恒成立问题）【2025山东新航标12月联考】
1．已知不等式的解集为空集，则的取值集合为（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题
【分析】将问题转化为在上恒成立，从而得解.
【详解】不等式的解集为空集，
不等式在上恒成立，
，，
即的取值范围是.
故选：D.
（在给定区间上的恒成立问题）（组卷网原创题）
2．若不等式在时不等式恒成立，则实数的取值范围为；若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】函数不等式恒成立问题、对勾函数求最值、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
【分析】首先分离参数可得，然后结合对勾函数的性质求得，从而可确定的取值范围．
【详解】①因为不等式，所以在区间上恒成立，
因为，当时取等号，
故.
②不等式对一切恒成立，，
由对勾函数的性质可知函数在区间上单调递增，
且当时，，所以，
故实数的取值范围是．
故答案为：①；②.
（给定参数范围的恒成立问题）
3．设，对于，使得恒成立的x的取值范围为．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】函数不等式恒成立问题
【分析】根据题意可得，根据恒成立问题结合一次函数性质列式求解即可.
【详解】将不等式整理成关于m的不等式为．
令，，
则，即，解得，
所以x的取值范围为．
故答案为：．
（能成立问题）【2025北京海淀10月质检】
4．若命题“对任意为假命题的a的取值范围是
【答案】
【难度】0.85
【知识点】根据全称命题的真假求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数、全称命题的否定及其真假判断、一元二次不等式在某区间上有解问题
【分析】写出全称量词命题的否定，为真命题，分，和三种情况，得到不等式，求出答案.
【详解】由题意得为真命题，
当时，不等式为，有解，满足要求，
当时，若，此时必有解，满足要求，
若，则，解得，
综上，a的取值范围为.
故答案为：
一元二次不等式恒成立问题辨析
对于一元二次不等式恒大于零就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于零就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．对于一元二次不等式能大于零就是相应的二次函数的图象在给定的区间上有在x轴上方的部分，能小于零就是相应的二次函数的图象在给定的区间上有在x轴下方的部分．另外，一元二次不等式恒成立问题常转化为求二次函数的最值或用分离参数求最值问题．
【2025甘肃兰州第三次质检】
5．若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题
【分析】根据一元二次不等式恒成立问题，分和两种情况讨论求解即可.
【详解】当时，不等式为，显然成立，符合题意；
当时，则，解得.
综上所述，k的取值范围是．
故答案为：.
6．关于的不等式恒成立的一个充分不必要条件是（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】一元二次不等式在实数集上