阶段提能(十六)排列、组合、二项式定理
1．[解]甲、乙都不是冠军，因此冠军只能从丙、丁、戊这三名学生中选1名，有A31种选法；乙不是最差的，即乙不是第五名，则第五名只能从除去冠军和乙外的其余三名学生中选1名，有A31种选法，第二名到第四名任排，有A33种排法，根据分步乘法计数原理，共有
2．[解](1)从5名男生和4名女生中选出4人参加创新大赛，则4人中男生和女生各选2人，共有
C52·C42＝10×
(2)除去甲、乙之外，其余2人可以从剩下的7人中任意选择，
则男生中的甲和女生中的乙必须在内有C72＝21(种
(3)男生中的甲和女生中的乙不在内的情况，共有C74＝35(种
则可得男生中的甲和女生中的乙至少有1人在内有C94-C74＝126－
(4)如果4人中必须既有男生又有女生，可以按含有女生的人数分成三类：1男3女；2男2女；3男1女，
则4人中必须既有男生又有女生有
C51C43+C52C4
3．[解](1)依题意，第3项是含x2的项，其系数是C4232+C4
∴展开式中按x的升幂排列的第3项为－26x2．
(2)由展开式的通项Tk＋1＝C18k(9x)18-
＝C18k336-3k
令18－32k＝0，得k＝12
∴常数项为T13＝18564．
(3)由题意得2Cn9＝
得n2－37n＋322＝0，解得n＝14或n＝23．
(4)原式＝(1－x3)(1－x)9
＝1-x3
∴x4的系数为C94＋9＝
(5)原式＝[(x2＋x)＋y]5，
∴其展开式的通项Tk＋1＝C5k(x2＋x)5-ky
令k＝2，∴5－k＝3，∴T3＝C52(x2＋x)3y
又(x2＋x)3的展开式的通项为T′r＋1＝C3r(x2)3-rxr＝C3r
令6－r＝5，∴r＝1，∴T′2＝C31x6-1＝C3
∴(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为C52C
4．[解]由题意知Cn0+Cn2+Cn
∴n＝11，
∴展开式中二项式系数最大的项为T6和T7．
∵T6＝C115·13x6·1
T7＝C11613x5
∴展开式中二项式系数最大的项为－462x-4和462x-
5．B[先将丙和丁捆绑在一起，有A22种排法，再将其与乙、戊排列，有A33种排法，最后将甲插入中间两空，有C21种排法，根据分步乘法计数原理，共有A22
6．C[甲、乙二人先选1种相同的课外读物，有C61＝6(种)情况，再从剩下的5种课外读物中各自选1本不同的读物，有C51C41＝20(种)情况，由分步乘法计数原理可得共有6×20＝
7．B[先从5人中选择1人两天均参加公益活动，有C51种方式；再从余下的4人中选2人分别安排到星期六、星期日，有A42种安排方式，所以不同的安排方式共有C51·A
8．20[因为3x3+x336的展开式的通项为Tk＋1＝C6k3x36-kx33
令6(k－3)＝0，可得k＝3，
所以常数项为30C63
9．10[令x＝1，∴(1＋1)n＝32，即2n＝32，解得n＝5，
所以(x＋1)5的展开式的通项为Tk＋1＝C5k·x5-k，令5－k＝2，则k＝
所以T4＝C53x2＝10x
故x2的系数为10．]
10．5[二项式13+x10的展开式的通项为Tk＋1＝C10k1310-kxk，
设展开式中第k＋1项系数最大，则
C10
?k≥294，k≤334，即294≤k≤
所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为C10813
11．64[法一：由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有C41C41种方案；第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有C41C42种方案；第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1
法二：若学生从这8门课中选修2门课，则有C82-C42-C42＝16(种)选课方案；若学生从这8门课中选修3门课，则有C83-C43
12．329[由题意知集合中至多只有一个奇数，其余均是偶数．
首先讨论三位数中的偶数，
①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有A92＝72(个
②当个位不为0时，则个位有C41个数字可选，百位有C81
则这样的偶数共有C41C81
所以集合中最多有72＋256＝328(个)偶数．
最后再加上单独的奇数，所以集合中元素个数的最大值为328＋1＝329．]