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文档摘要

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重难专攻（六）数列与其他知识的交汇问题

1.（2022·新高考Ⅱ卷17题）已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4.

（1）证明：a1＝b1；

（2）求集合{k｜bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素的个数.

2.（2025·邢台一模）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，an＞0，且2Sn＋1－an+12＝－2

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若bn＝3an2，{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn

3.（2025·八省联考）已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝3a

（1）证明：数列{1－1an}

（2）求{an}的通项公式；

（3）令bn＝an+1an，证明：bn＜bn＋

4.（2025·南京六校联考）设数列{an}满足an2＝an＋1an－1＋λ（a2－a1）2，其中n≥2，且n∈N，λ

（1）若{an}是等差数列，且公差d≠0，求λ的值；

（2）若a1＝1，a2＝2，a3＝4，且存在r∈[3，7]，使得m·an≥n－r对任意的n∈N*都成立，求m的最小值；

（3）若λ≠0，且数列{an}不是常数列，如果存在正整数T，使得an＋T＝an对任意的n∈N*均成立.求所有满足条件的数列{an}中T的最小值.