第5节古典概型、概率的基本性质
考试要求1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所包含的样本点及事件发生的概率.3.当直接求某一事件的概率较为复杂时，可转化为求几个互斥事件的概率之和或其对立事件的概率.
【知识梳理】
1.古典概型
定义：一般地，有以下两个特点：
①样本空间Ω只含有有限个样本点；
②每个基本事件的发生都是等可能的.
我们将满足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型.
2.古典概型的概率公式
在古典概型中，如果样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}(其中，n为样本点的个数)，那么每一个基本事件{ωk}(k＝1，2，…，n)发生的概率都是eq\f(1,n).如果事件A由其中m个等可能基本事件组合而成，即A中包含m个样本点，那么事件A发生的概率为P(A)＝eq\f(m,n).
3.概率的性质
性质1：对任意的事件A，都有0≤P(A)≤1；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0；
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A+B)＝P(A)＋P(B)；
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；
性质5：如果A?B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为??A?Ω，所以0≤P(A)≤1.
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A+B)＝P(A)＋P(B)－P(AB).
[常用结论与微点提醒]
概率的一般加法公式P(A+B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)中，当AB＝?，即A，B互斥时，P(A+B)＝P(A)＋P(B)，此时P(AB)＝0.
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其样本点是“发芽与不发芽”.()
(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件.()
(3)从－3，－2，－1，0，1，2中任取一个数，取到的数小于0或不小于0的可能性相同.()
(4)从1，2，3这三个数中任取两个数，其和不小于4的概率为eq\f(2,3).()
答案(1)×(2)×(3)√(4)√
解析对于(1)，发芽与不发芽不一定是等可能，所以(1)不正确；对于(2)，三个事件不是等可能，其中“一正一反”应包括“正反”与“反正”两个样本点，所以(2)不正确.
2.(教材改编)单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案.如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案.假设考生有一题不会做，他随机地选择一个答案，答对的概率是________.
答案eq\f(1,4)
解析选择一个答案有选A，选B，选C，选D共4种等可能的结果，故答对的概率p＝eq\f(1,4).
3.袋中装有大小、形状完全相同的6个白球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为________.
答案eq\f(3,5)
解析完全相同的6个白球，4个红球，从中任取一球，一共有Ceq\o\al(1,10)＝10种取法，取到白球有Ceq\o\al(1,6)＝6种取法，
则取到白球的概率p＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).
4.某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次中9环，有4次中8环，有1次未中靶.假设此人再射击1次，则中靶的概率约为________.
答案0.9
解析法一由题意知eq\f(2,10)＋eq\f(3,10)＋eq\f(4,10)＝eq\f(9,10)＝0.9.
法二由题意，未中靶的概率为eq\f(1,10)＝0.1，
故中靶的概率为1－0.1＝0.9.
考点一古典概型
例1(1)(2024·东莞调研)甲、乙、丙、丁四人在足球训练中进行传球训练，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙、丙、丁中的任何一个人，以此类推，则经过3次传球后乙恰好接到1次球的概率为()
A.eq\f(14,27) B.eq\f(5,9) C.eq\f(16,27) D.eq\f(17,27)
答案C
解析按接球人分类：①不含甲，三人时，乙丙丁，乙丁丙，丙乙丁，丙丁乙，丁乙丙，丁丙乙，共6种；
两人时，乙丙乙，丙乙丙，乙丁乙，丁乙丁，丁丙丁，丙丁丙，共6种；
②含甲，乙甲乙，丙甲丙，丁甲丁，乙丙甲，乙甲丙，乙丁甲，乙甲丁，丙乙甲，丙甲乙，丁乙甲，丁甲乙，丙丁甲，丙甲丁，丁甲丙，丁丙甲，共15种，
故共计27种.
其中乙恰好接到1次球的情况有16种，所以所求概率为eq\f(16,27).
(2)(2024·沈阳模拟)如图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态