重难专攻（十四）概率与统计的综合问题
1.（2024·北京高考18题）某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
索赔次数
0
1
2
3
4
保单份数
800
100
60
30
10
假设：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.
假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.
（1）估计一份保单索赔次数不少于2的概率；
（2）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
①记X为一份保单的毛利润，估计X的数学期望EX；
②如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与①中EX估计值的大小.（结论不要求证明）
2.为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如表所示：
时间范围
学业成绩
[0，0.5）
[0.5，1）
[1，1.5）
[1.5，2）
[2，2.5）
优秀
5
44
42
3
1
不优秀
134
147
137
40
27
（1）该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数约为多少？
（2）估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）；
（3）根据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？
（附：χ2＝n（ad－bc）2（a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d），其中n
3.某基地蔬菜大棚采用无土栽培的方式种植各类蔬菜.根据过去50周的资料显示，该地周光照量X（小时）都在30小时以上，其中不足50小时的有5周，不低于50小时且不超过70小时的有35周，超过70小时的有10周.根据统计，该基地的西红柿增加量y（千克）与使用某种液体肥料的质量x（千克）之间的关系为如图所示的折线图.
（1）依据折线图，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？请计算样本相关系数r并加以说明（精确到0.01）；（若｜r｜＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪运行台数受周光照量X限制，并有如下关系：
周光照量
X/小时
30＜X＜50
50≤X≤70
X＞70
光照控制仪最
多可运行台数
3
2
1
若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元.以频率作为概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？
参考数据：0.3≈0.55，0.9≈
4.（2024·龙岩三模）某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片按质量划分为五个等级，分别对应如下五组质量指标值：[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95].根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值X服从正态分布N（μ，σ2），并把质量指标值不小于80的产品称为A等品，其他产品称为B等品.现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.
（1）根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差s的近似值为11，用样本平均数x作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值.若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为A等品的概率（保留小数点后面两位有效数字）；
（①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ－σ＜ξ＜μ＋σ）≈0.6827，P（μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ）≈0.9545，P（μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ）≈0.9973）
（2）（ⅰ）从样本的质量指标值在[45，55）和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为η，求η的分布列和数学期望；
（ⅱ）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装.已知一件A等品芯片的利润是m（1＜m＜24）元，一件B等品芯片的利润是ln（25－m）元，根据（1）的计算结果，试求m的值，使得每箱产品的利润最大.