重难专攻（十四）概率与统计的综合问题
【重点解读】概率与统计的综合问题是命制生活实践情境类试题的最佳切入点，所考查内容涉及数据分析、数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养，是近几年高考追逐的热点之一，处理此类问题的关键是把握概率、统计的本质，合理构造模型，正确进行数学运算和必要的逻辑推理.
提能点1
统计图表与概率的综合问题
（2025·海淀开学考试）某甜品店为了解某款甜品的销售情况，进而改变制作工艺，根据以往的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示.假设每天的销售量相互独立，用频率估计概率.
（1）估计某一天此款甜品销售量不超过60个的概率；
（2）用X表示在未来3天里，此款甜品日销售量多于60个的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；
（3）该店改变了制作工艺以后，抽取了连续30天的销售记录，发现这其中有20天的销售量都大于70个，问：根据抽查结果，能否认为改变工艺后，此款甜品的销售情况发生了变化，说明理由.
规律方法
统计图表与概率综合问题的求解策略
（1）正确识读统计图表，从图表中提取有效信息及样本数据；
（2）根据统计原理即用样本数字特征估计总体的思想，结合样本中各统计量之间的关系构造数学模型（函数模型、不等式模型、二项分布模型、超几何分布模型或正态分布模型等）；
（3）正确进行运算，求出样本数据中能够说明问题的特征值，从而用此数据估计总体或作出科学的决策与判断.
练1某校为了落实“双减”政策，安排了25名教师参与课后服务工作，在某个星期内，他们参与课后服务的次数统计如图所示.
（1）求这25名教师在该星期参与课后服务的平均次数；
（2）从这25名教师中任选2人，设这2人在该星期参与课后服务的次数之差的绝对值为X，求X的分布列与数学期望.
提能点2
回归分析与概率的综合问题
（2024·杭州二模）杭州是国家历史文化名城，为了给来杭州的客人提供最好的旅游服务，某景点推出了预订优惠活动，表中是该景点在某App平台10天预订票销售情况：
日期t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
销售量
y（万张）
1.93
1.95
1.97
1.98
2.01
2.02
2.02
2.05
2.07
0.5
经计算可得：y＝110∑i=110yi＝1.85，∑i=110tiy
（1）因为该景点今年预订票购买火爆程度远超预期，该App平台在第10天时系统异常，现剔除第10天数据，求y关于t的经验回归方程（结果中的数值用分数表示）；
（2）该景点推出团体票，每份团体票包含四张门票，其中X张为有奖门票（可凭票兑换景点纪念品），X的分布列如下：
X
2
3
4
P
1
1
1
今从某份团体票中随机抽取2张，恰有1张为有奖门票，求该份团体票中共有3张有奖门票的概率.
规律方法
回归分析与概率综合问题的解题思路
（1）此类问题的特点为同一生活实践情境下设计两类问题，即①求经验回归方程（预测）；②求某随机变量的概率（范围）、均值、方差等；
（2）充分利用题目中提供的成对样本数据（散点图）做出判断，确定是线性问题还是非线性问题.求解时要充分利用已知数据，合理利用变形公式，以达到快速准确运算的目的；
（3）明确所求问题所属事件的类型，准确构建概率模型.
练2当下，大量的青少年沉迷于各种网络游戏，极大地毒害了青少年的身心健康.为了引导青少年抵制不良游戏，适度参与益脑游戏，某游戏公司开发了一款益脑游戏，在内测时收集了玩家对每一关的平均过关时间，如下表：
关卡x
1
2
3
4
5
6
平均过关时间
y（单位：秒）
50
78
124
121
137
352
计算得到一些统计量的值为：∑i=16ui＝28.5，∑i=16xiui＝106.05，其中ui
参考公式：对于一组数据（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n），其经验回归直线y＝bx＋a的斜率和截距的最小二乘估计分别为b＝∑i=1nxiyi
（1）若用模型y＝aebx拟合y与x的关系，根据提供的数据，求出y关于x的经验回归方程；
（2）制定游戏规则如下：玩家在每关的平均过关时间内通过可获得积分2分并进入下一关，否则获得－1分且该轮游戏结束.甲通过练习，前3关都能在平均时间内过关，后面3关能在平均时间内通过的概率均为45，若甲玩一轮此款益脑游戏，求“甲获得的积分X”的分布列和数学期望
提能点3
独立性检验与概率的综合问题
（2025·临沂一模）“赶大集”出圈彰显了传统民俗的独特魅力.为了解年轻人对“赶大集”的态度，随机调查了200位年轻人，得到的统计数据如下面的不完整的2×2列联表所示（单位：人）.
性别
对“赶大集”的态度
合计
非常喜欢
感觉一般
男性
3t
100
女性
t
合计
60
（1）求t的值，试根据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为年轻人对“