第2节二项式定理
【课标要求】（1）理解二项式定理、掌握二项式系数的性质；（2）会利用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
知识点一二项式定理
二项式定理
（a＋b）n＝（n∈N*）
二项展开式
的通项
Tk＋1＝，它表示第项
二项式系数
（k＝0，1，2，…，n）
提醒（1）项数为n＋1；（2）各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n；（3）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项加1直到n.
（1）（2024·北京高考4题）在（x－x）4的展开式中，x3的系数为（）
A.6B.－6C.12D.－12
（2）（人A选三P38复习参考题5题改编）（9x＋13x）n的展开式中，第13项为常数项，则正整数n＝（
A.8 B.12
C.18 D.25
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规律方法
求二项展开式中特定项的策略
求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项Tk＋1＝Cnkan－kbk的特点，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围（k＝0，1，2，…，
提醒两类系数的区别：二项式系数是指Cn0，Cn1，…，Cnn，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；项的系数是指该项中除变量外的常数部分，与各项的项数有关，
练1（1）（ax＋y）5的展开式中x2y3项的系数等于80，则实数a＝（）
A.2 B.±2 C.22 D.±22
（2）写出（3x2－1x）6展开式中的一个有理项为
知识点二二项式系数的性质
角度1二项展开式中的系数和问题
（1）（2025·惠州一模）已知（2x－1）5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则｜a0｜＋｜a1｜＋…＋｜a5｜＝（）
A.1 B.243
C.121 D.122
（2）在（2x－3y）10的展开式中，奇数项系数的和为.
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规律方法
赋值法的应用
（1）对形如（ax＋b）n，（ax2＋bx＋c）m（a，b，c∈R，m，n∈N*）的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可；
（2）对形如（ax＋by）n（a，b∈R，n∈N*）的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可；
（3）一般地，若f（x）＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f（x）展开式中各项系数之和为f（1），奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝f（1）＋f(-1）2，偶数项系数之和为a1＋
角度2系数的最值问题
（1）在（x－1x）n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项的系数为（）
A.－126 B.－70
C.－56 D.－28
（2）（2024·全国甲卷理13题）（13＋x）10的展开式中，各项系数中的最大值为
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规律方法
1.求二项式系数最大项
（1）如果n是偶数，那么中间一项（第n2＋1项）的二项式系数最大，最大值为C
（2）如果n是奇数，那么中间两项（第n+12项与第n+12＋1项）的二项式系数相等且最大，最大值为
2.求展开式系数最大项
求（a＋bx）n（a，b∈R）的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用Ak≥A
练2（1）〔多选〕（2024·苏州模拟）关于（2x－1x2）6的展开式，下列说法中正确的是（
A.展开式中二项式系数之和为32
B.展开式中各项系数之和为1
C.展开式中二项式系数最大的项为第4项
D.展开式中系数最大的项为第4项
（2）设m为正整数，（x＋y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x＋y）2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝.
提能点
多项式展开式中特定项（系数）问题
角度1几个多项式和展开式中特定项（系数）问题
在1＋（1＋x）＋（1＋x）2＋（1＋x）3＋（1＋x）4＋（1＋x）5＋（1＋x）6的展开式中，含x3项的系数是（）
A.25 B.30 C.35 D.40
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规律方法
对于几个二项式和的展开式中的特定项（系数