第3节平面向量的数量积及应用
【课标要求】（1）理解平面向量数量积的含义及其几何意义；（2）了解平面向量的数量积与投影向量的关系；（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
知识点一平面向量的数量积
1.向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a与b的夹角.
2.平面向量的数量积
已知两个非零向量a＝（x1，y1）与b＝（x2，y2），它们的夹角为θ，我们把数量叫做向量a与b的数量积，记作a·b，其坐标表示为a·b＝.
3.向量数量积的运算律
（1）a·b＝b·a；
（2）（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）；
（3）（a＋b）·c＝a·c＋b·c.
提醒向量数量积运算不满足结合律，即（a·b）c≠a（b·c）；也不满足消去律，即a·b＝a·c?/b＝c.
（1）已知向量a，b夹角的余弦值为－14，且｜a｜＝4，｜b｜＝1，则（a－b）·（b－2a）＝（）
A.－36 B.－12
C.6 D.36
（2）（2023·全国乙卷文6题）正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则EC·ED＝（）
A.5 B.3
C.25 D.5
听课记录
规律方法
计算平面向量数量积的主要方法
（1）利用定义：a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞；
（2）利用坐标运算，若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a·b＝x1x2＋y1y2；
（3）利用基底法求数量积.
练1（1）（2025·南通一模）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AD＝1，点E在边AB上，且CD·CE＝3，则BE＝（）
A.1 B.2
C.12 D.
（2）（2022·全国甲卷理13题）设向量a，b的夹角的余弦值为13，且｜a｜＝1，｜b｜＝3，则（2a＋b）·b＝
知识点二投影向量
如图，在平面内任取一点O，作OM＝a，ON＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则OM1就是向量a在向量b上的投影向量，记为OM1＝
（1）（苏教必修二P24练习5题改编）已知向量a与b的夹角为π3，｜a｜＝2，｜b｜＝1，则向量a在b上的投影向量为（）
A.bB.12b C.aD.1
（2）若向量a，b满足a＝（1，3），（a－b）·（a－3b）＝15，且a在b上的投影向量为－2b，则a·b＝（）
A.2 B.－2
C.1 D.－1
听课记录
规律方法
任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于｜a｜cosθe（θ为向量a，b的夹角，e为与b同向的单位向量）.
练2（1）（北师必修二P108例1改编）已知｜a｜＝｜b｜＝1，｜a＋b｜＝3，则a在b上的投影向量为（）
A.32a B.1
C.32b D.1
（2）（2025·武汉一模）已知x∈R，向量a＝（x，2），b＝（2，－1），且a⊥b，则a＋b在a上的投影向量的坐标为（）
A.（5，1） B.（5，1）
C.（1，2） D.（2，－1）
知识点三平面向量数量积的应用
已知非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a与b的夹角为θ.
几何表示
坐标表示
模
｜a｜＝a
｜a｜＝
夹角
cosθ＝a
cosθ＝x
a⊥b的充要条件
a·b＝0
＝0
｜a·b｜与｜a｜｜b｜
的关系
｜a·b｜≤｜a｜｜b｜（当且仅当a∥b时等号成立）
｜x1x2＋y1y2｜≤
（
提醒a⊥b?a·b＝0是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b.
角度1向量的模
（人A必修二P61复习参考题13（6）题改编）若平面向量a，b，c两两夹角相等，且｜a｜＝1，｜b｜＝1，｜c｜＝4，则｜2a＋2b－c｜＝（）
A.0B.6C.0或6D.0或6
听课记录
规律方法
求平面向量模的方法
（1）公式法：利用｜a｜＝a·a及（a±b）2＝｜a｜2±2a·b＋｜b｜2，
（2）几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所求向量，再利用余弦定理等方法求解.
角度2向量的夹角
有关向量夹角的两个结论