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第47天数列的基本性质（确保120分）
十年高考（新课标1卷）
考查阐述（考点、考向、交汇点等）
试题难度（低，中，高）
2015
等差数列下标和性质
低
2016
等差数列前n项和性质
低
2017
等差数列前n项和性质
中
2018
未考查
2019
等差数列前n项和性质
低
2020
等差数列片段和性质
低
2021
等差数列片段和性质
低
2022
等差数列前n项和性质
中
2023
等差数列片段和性质
中
2024
等差中项的性质
低
命题热度预测2025
等差数列和等比数列的性质是高考热点内容，每年必考，主要考查下标和性质、片段和性质、前n项和性质，难度一般．预计2025年仍然有可能会考查．
1．【2015广东卷】在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=．
【答案】10
【解析】由a3+a4+a5+a6+a7=（a3+a7）+（a4+a6）+a5=5a5=25，
得到a5=5，
则a2+a8=2a5=10．
故答案为10．
2．【2016江苏卷】已知是等差数列，Sn是其前n项和．若，S5=10，则的值是．
【答案】
【解析】由得，因此
3．【2017浙江卷】已知等差数列的公差为d，前n项和为，则“d0”是（）
A．充分不必要条件????B．必要不充分条件
C．充分必要条件????D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由，可知当时，有，即，反之，若，则，所以“d0”是“S4+S62S5”的充要条件，选C．
4．【2019新课标Ⅲ卷】记为等差数列{}的前n项和，，则．
【答案】4．
【解析】因，所以，即，
所以．
5．【2020新课标Ⅰ卷】设是等比数列，且，，则（）
A.12????B.24????C.30????D.32
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为，则，
，
因此，．
故选：D．
6．【2021年全国甲卷】记为等比数列的前n项和．若，，则（）
A.7????B.8????C.9????D.10
【答案】A
【解析】∵为等比数列的前n项和，，
∴，，成等比数列
∴，
∴，
∴．
故选：A．
7．【2022全国甲卷】记为数列的前n项和．已知．
（1）证明：是等差数列；
（2）若成等比数列，求的最小值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解析】（1）因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时，．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，即有．
则当或时，．
8．【2023新课标Ⅱ卷】记为等比数列的前n项和，若，，则（）．
A.120????B.85????C．????D．
【答案】C
【解析】方法一：设等比数列的公比为，首项为，
若，则，与题意不符，所以；
若，则，与题意不符，所以；
由，可得，，①，
由①可得，，解得：，
所以．
故选：C．
方法二：设等比数列的公比为，
因为，，所以，否则，
从而，成等比数列，
所以有，，解得：或，
当时，，即为，
易知，，即；
当时，，
与矛盾，舍去．
故选：C．
9．【2024全国甲卷】记为等差数列的前项和，已知，，则（）
A．????B．????C．????D．
【答案】B
【解析】由，则，
则等差数列的公差，故．
故选：B．
（数列的周期性）【组卷网原创题】
1．已知数列的前n项和为，则（???）
A． B．0 C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】数列周期性的应用
【分析】由的周期性，得到，找个规律求和即可；
【详解】当n为奇数时有，函数的周期为8，
故有，
，，，，…，
按此规律循环重复下去，，
故有．
故选：B
（数列的单调性）【2025重庆一中开学考试】
2．已知等差数列的公差，记该数列的前项和为，数列恒单调递减，则实数的取值范围是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、根据数列的单调性求参数
【分析】根据给定条件，求出等差数列的前项和，再利用递减数列列式求得范围.
【详解】在等差数列中，，，由公差，得，
解得，，，
，，
由数列恒单调递减，得恒成立，
整理得恒成立，而，因此，
所以实数的取值范围是.
故选：D
（下标和性质）【2025广东湛江一模】
3．在等比数列中，，，则（???）．
A．