高考试题
(年份/卷别/题号)
新高考全国卷
新高考地方卷
命题区间
空间几何体
及其表面积
和体积
2024新高考Ⅰ卷T5Ⅱ卷T7
2023新高考Ⅰ卷T14Ⅱ卷T9T14
2022新高考Ⅰ卷T4T8Ⅱ卷T7T11
2024北京卷T8T14
2024天津卷T9
2023天津卷T8
空间点线面的
位置关系、
空间向量
2024新高考Ⅰ卷T17Ⅱ卷T17
2023新高考Ⅰ卷T12T18Ⅱ卷T20
2022新高考Ⅰ卷T9T19Ⅱ卷T20
2024天津卷T6T172024北京卷T17
2024上海卷T15T172023上海卷T17
2023北京卷T9T162023天津卷T17
2023上海(春季)卷T172022北京卷T17
2022浙江卷T8T19
命题分
析与备
考策略
1．规律小结
比较近三年的高考题可以发现，对于空间向量与立体几何的考查在能力素养要求上有所提高，但难度不会提升太多，多为基础性、综合性题目．考查内容主要有：
(1)以空间几何体与球的切、接为背景，考查几何体的结构特征、表面积、体积、性质等；
(2)以空间几何体为载体，考查空间线、面位置关系的证明以及空间角和距离的计算；
(3)以空间向量为辅助工具，解决空间几何体的证明与计算问题．
2．考点频度
(1)高频考点：垂直关系的证明，二面角，体积．
(2)中频考点：球及球的切接，线线角、线面角，劳动生产实际与数学文化．
(3)低频考点：表面积，平行关系的证明．
3．考前备考策略
从近几年高考来看，立体几何总体难度有所提升，但仍然以基础性题目为主，注重考查数学文化、社会生活实践中的数学问题，球的切接问题也是考查的热点和难点．解答题以常见几何体为载体，重点考查空间中点、线、面的位置关系的判断与证明以及空间角的求法，更加注重对空间想象能力、逻辑思维能力和运算求解能力的考查，题目多为中档的综合性问题．综上，备考中要加强对常规题型的理解，要理解解题思路与方法策略，做到针对性、点对点备考，在训练中注意提高运算求解能力和空间想象能力．
空间几何体及其表面积和体积
数学文化与简单几何体的性质
关注社会主义建设成果，增强文化自信，同时考查空间想象能力、数学运算能力．
典例1(2022·新高考Ⅰ卷T4)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为(7≈2.65)()
A．1.0×109m3B．1.2×109m3C．1.4×109m3D．1.6×109m3
命题立意：本题属于生活实践情境．以我国的重大建设成就“南水北调”工程为背景，冷点新考，强调基础，考查棱台的体积公式，体现了数据分析、数学运算等核心素养．
思维拆解
解题思路
名师点拨
第1步：统一单位，化“km2”为“m2”．
第2步：求体积．
将统一单位后的数据代入棱台的体积公式求棱台的体积．
解：由已知可得棱台的两个底面面积分别为S1＝140.0km2＝1.4×108m2，S2＝180.0km2＝1.8×108m2，棱台的高h＝157.5－148.5＝9(m)．
由棱台的体积公式，得增加的水量约为
V＝13(S1＋S2＋S1S2)h＝13×(1.4×108＋1.8×108＋1.4×108×1.8×108)×9＝3×(0.6×7＋3.2)
故选C．
易错：解答本题要注意将单位统一．
归纳总结：本题以我国重大建设成就“南水北调”工程为背景，考查棱台体积公式，同时考查学生的空间想象、运算求解、阅读理解等多种能力，试题引导学生关注社会主义建设成果，增强社会责任感，注意到棱台的体积公式在近年的考试中很少涉及，是个“冷点”，在今后的复习中要格外注意．
空间几何体的表面积和体积的计算
命题角度：(1)空间几何体的表面积；(2)空间几何体的体积．
典例2(2023·新高考Ⅰ卷T14)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝2，则该棱台的体积为________．
命题立意：本题以正四棱台为载体，考查棱台中特殊梯形的应用及棱台的体积公式，考查了空间想象能力，体现了直观想象的数学学科核心素养．
思维拆解
解题思路
名师点拨
方法一：直接法
第1步：作辅助线，构造直角梯形、直角三角形．
第2步：利用勾股定理和台体的体积公式即可求解．
方法二：割补法
补全正棱锥，利用相似比值求解．
解：法一：如图，记上底面、下底面的中心分别为O1，O，则四边形AOO1A1为直角梯形．由题意可