江苏省连云港市新海协作体2024?2025学年高一下学期5月联考数学试题
一、单选题
1．已知复数，则在复平面内对应的点在（???）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中正确的是（????）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
3．设向量，若，则（????）
A． B． C． D．0
4．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的面积为（???）
A． B．2 C．3 D．
5．正四棱台的上、下底面边长分别为，，侧棱长为，则棱台的侧面积为（????）
A． B．
C． D．
6．在中，若，则的形状为（??????）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
7．若，且，则（????）
A． B． C． D．
8．在正四棱锥中，底面四边形是边长为的正方形，当该正四棱锥的外接球半径与内切球半径之比最小时，则该正四棱锥的体积为（???）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知中，内角，，所对的边分别为，，，则下列命题中，正确的命题是（???）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则；反之，若，则
C．，，，要使此三角形的解有两个，则的取值范围为
D．，角的平分线交边于，且，则的最小值为12
10．在底面是菱形的四棱锥中，，，，点在上，且，点是棱的动点，则下列说法正确的是（???）
A．
B．三棱锥的体积为
C．当是棱的中点时，平面
D．直线与平面所成的角的正切值最大为
11．如图，已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和6，侧棱长为4，点P在侧面内运动（包含边界），且AP与平面所成角的正切值为，点Q为上一点，且，则下列结论中正确的有（???）
A．正三棱台的高为
B．点P的轨迹长度为
C．高为，底面半径为的圆柱可以放进棱台内
D．过点A，B，Q的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为
三、填空题
12．已知为一单位向量，与之间的夹角是120°，而在方向上的投影向量为，则．
13．已知，且，则.
14．在锐角中，内角、、的对边分别为、、，已知，，点是线段的中点，则线段长的取值范围为．
四、解答题
15．已知向量，，，且，．
（1）求向量、；
（2）若，，求向量，的夹角的大小.
16．已知的内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求；
（2）若，面积为，求的值.
17．如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．
（1）求A到平面的距离；
（2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
18．在平行四边形中，是线段的中点，点在直线上，且.
（1）当时，求的值；
（2）当时，与交于点，求的值；
（3）求的最小值.
19．如图1，一个正三棱柱形容器中盛有水，底面边长为4，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好过AC，BC，，的中点．现在固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜程度不同，水面的形状也不同．
(1)如图2，当底面ABC水平放置时，水面高为多少?
(2)当水面经过线段时，水面与地面的距离为多少?
(3)试分析容器围绕AB从图1的放置状态旋转至水面第一次过顶点C的过程中（不包括起始和终止位置），水面面积S的取值范围．（假设旋转过程中水面始终呈水平状态，不考虑水面的波动）
参考答案
1．【答案】B
【详解】因为，
所以在复平面内对应的点在，位于第二象限.
故选B
2．【答案】D
【详解】对于A，若，，则，或，故A错误；????
对于B，若，，则，或与相交，故B错误；
对于C，若，，则与相交，或，或，故C错误；????
对于D，若，，则，故D正确.
故选D.
3．【答案】B
【详解】因为，所以，
即，整理得
又，所以，解得.
故选B
4．【答案】C
【详解】如图，作平面直角坐标系，使A与O重合，在x轴上，且，在轴上，且，
过作，且，连接，则直角梯形为原平面图形，其面积为．
故选C.
5．【答案】D
【详解】正四棱台的上、下底面边长分别为，，侧棱长为，
所以棱台的斜高为:.
所以棱台的侧面积是:.
故选D.
6．【答案】A
【详解】由正弦定理和可得，
故,
由于，故,结合为三角形的内角，故，
故三角形为直角三角形，
故选A
7．【答案】B
【详解】因为，所以，，
所以，
.
故选B
8．【答案】B
【详解】设正四棱锥的高为，设，连接，则平面，
设该正四棱锥的外接球球心为，则在直线上，
取的中点，连接、，
对外接球，解得：，
对内切球：，
故四棱锥表面积，
由体积法：，
所以，
令，则，
进而，
当且仅当，即时，取最小值，此时.
因此，该正四棱锥的体积为.
故选B.
9．【答案】BCD
【详解】对于A，若，则，所以，所以或，
所