安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学2024-2025学年高一下学期5月测试数学试题
一、单选题
1．已知复数，则（????）
A． B．2 C． D．
2．已知，，则在上的投影向量为（???）
A． B． C． D．
3．设m、n是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是
A．若m//α，n?α，则m//n B．若m//α，n//α，则m//n
C．若m⊥n，n?α，则m⊥α D．若m⊥α，m//n，则n⊥α
4．如图是正四面体的平面展开图，分别为的中点，在这个正四面体中，以下四个说法中错误的是（???）
A．与平行 B．与为异面直线
C．与成60°角 D．与垂直
5．在三棱锥A-BCD中，AD=BC，且AD与BC所成的角为60°，若E，F分别是AB，CD的中点，则直线EF与所成的角为（）
A．30° B．60° C．90° D．30°或60°
6．在中，，，若满足上述条件的有且仅有一个，则边长的取值范围是（）
A． B． C． D．
7．已知在中，为所在平面内的动点，且，则的最大值为（）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．如图，正四面体的棱长为2，点E在四面体外侧，且是以E为直角顶点的等腰直角三角形．现以为轴，点E绕旋转一周，当三棱锥的体积最小时，直线与平面所成角的正弦值的平方为（????）
??
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列命题正确的有（????）
A．如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线一定在这个平面内
B．过直线外一点，只能作一个平面与这条直线平行
C．如果一条直线与平面内的无数条直线平行，则该直线与平面平行
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
10．如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于、的动点，，则下列结论正确的是（）
A．圆锥的侧面积为
B．三棱锥体积的最大值为
C．的取值范围是
D．若，为线段上的动点，则的最小值为
11．如图，在山脚测得山顶的仰角，沿倾斜角为的斜坡向上走米到，在处测得山顶的仰角为，则下列选项正确的是（????）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．与平面向量反向共线的单位向量的坐标为.
13．已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为.
14．在底面边长为1且高为的正六棱锥内部放一个正方体，使其能在该正六棱锥内任意转动，则正方体棱长的最大值为．
四、解答题
15．设为实数，若向量．
（1）若与垂直，求的值；
（2）当为何值时，三点共线．
16．如图，直三棱柱中，，、分别为、的中点．
（1）求证：；
（2）若，三棱锥的体积为，求直线与平面所成角大小．
17．如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形.，，，，点是棱上靠近端的三等分点，点是棱上点.
（1）证明：平面；
（2）求异面直线与夹角的余弦值.
18．已知锐角中，分别是角的对边，且.
（1）求；
（2）记的面积为S，求的取值范围．
19．离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面．已知三棱锥如图所示．
（1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；
（2）若平面ABC，，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为，求点A到平面PBC的距离；
（3）在（2）的前提下，又知点Q在棱PB上，直线CQ与平面ABC所成角的余弦值为，求BQ的长度．
参考答案
1．【答案】B
【详解】，
则，
所以.
故选B.
2．【答案】A
【详解】由题意，在上的投影向量为.
故选A
3．【答案】D
【详解】每个命题分别判断，可通过举例说明命题为假，如果为真说明理由即可．
【详解】中，还可能有异面，A错；B中相交、平行、异面都有可能，B错；
C中仅仅垂直于平面中的一条直线，与斜交也都有可能，C错；
，则垂直于内所有直线，而，则也垂直于内所有直线，，正确．
故选D．
4．【答案】A
【详解】还原成正四面体，
如图，由异面直线判定定理：
易知与为异面直线，A错，
与为异面直线，B对，
易知：，又，
所以与成角，C对，
因为正四面体对棱垂直，所以，
所以，D对，
故选A
5．【答案】B
【详解】因为E，F，G分别是AB，AC，BD的中点，
所以，
由于AD与BC是异面直线，根据异面直线所成角的定义可知，
为异面直线AD与所成角，
因为AD与BC所成的角为60°，
所以直线EF与所成的角为60°.
故选B.
6．【答案】C
【详解】在中利用正弦定理得，则，
若有且仅有一个，则或，或，
则边长的取值范围是.
故选C
7．【答案】B
【详解】依题意，如图建立平面直角坐标系，则，，，
因为，所以在以为圆心，为半径