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安徽省安庆市部分示范高中2024-2025学年高一下学期第一次联考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，则（????）
A． B． C．0 D．1
2．瑞士数学家欧拉发现的欧拉公式：，其中为虚数单位，是自然对数的底数．公式非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来．根据欧拉公式，则的最大值为（????）
A． B．1 C． D．2
3．如图，在中，，，，则（???）
????
A．2 B． C． D．4
4．已知三角形ABC满足，则三角形ABC的形状一定是（????）
A．正三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
5．记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（????）
A．1 B． C． D．3
6．已知，则（????）
A． B． C． D．
7．已知向量、满足：，，向量与向量的夹角为，则的最大值为（????）
A． B．2 C． D．4
8．如图，在中，，，与交于点，过点作直线，分别交，于点，，若，，则的最小值为（???）
A． B． C．2 D．
二、多选题
9．已知都是复数，下列选项中正确的是（????）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（????）
A．与的图象关于直线对称
B．与的图象关于点对称
C．当时，
D．当时，与的图象恰有4个交点
11．在，角的对边分别为，且的面积满足，为的外心．若，下列结论中正确的有（???）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．若是关于的实系数方程的一个复数根，则.
13．已知中，，，，为的外心，若，则的值为.
14．如图，在中，点在线段上，且，，则的面积的最大值为.
四、解答题
15．已知复数．
(1)若，求；
(2)在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小．
16．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（I）求角B的大小；
（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
17．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角的大小；
(2)若的角平分线交于D，且，求面积的最小值．
18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求角B的大小；
(2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围．
19．如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，记，
??
(1)请用来表示平行四边形的面积；
(2)若.
①求平行四边形面积的最大值，以及面积最大时角的值；
②记（其中），求的取值范围.
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《安徽省安庆市部分示范高中2024-2025学年高一下学期第一次联考数学试卷》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
C
B
A
C
D
A
BD
ACD
题号
11
答案
AB
1．A
【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出．
【详解】因为，所以，即．
故选：A．
2．D
【分析】现将欧拉公式代入，化简求其模长即可.
【详解】
，
因为，所以当时，的最大值为2.
故选：D.
3．C
【分析】利用平面向量的运算以及数量积的运算求解即可.
【详解】因为，
所以，
即,
所以，即，
因为,
所以
，
故选:C.
4．B
【分析】根据单位向量的定义及加法的几何意义有对应向量在的角平分线上，进而有的角平分线与边垂直，结合等腰三角形的性质即可得.
【详解】由几何意义知，对应向量在的角平分线上，
由，即的角平分线与边垂直，
所以三角形ABC的形状一定是等腰三角形.
故选：B
5．A
【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.
【详解】由函数的最小正周期T满足，得，解得，
又因为函数图象关于点对称，所以，且，
所以，所以，，
所以.
故选：A
6．C
【分析】根据同角关系，两角差正弦公式化简可得，由此可求，由配方，结合平方关系可求结论.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
故选：C.
7．D
【分析】设，，，从而得到等边三角形，进一步可得的轨迹是两段圆弧，画出示意图可知当是所在