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河南省郑州市第十九高级中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若，则复数（????）
A． B． C．1 D．
2．如图，四边形为平行四边形，，为线段BE的中点，若以，为基底表示向量，则（????）
??
A． B．
C． D．
3．已知?是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中不能作为基底的一组是（）
A．和 B．和
C．和 D．和
4．已知平面向量与的夹角为，且，则（）
A．1 B． C．2 D．3
5．下列命题：①向量与都是单位向量，则；
②在中，必有；
③四边形ABCD是平行四边形，则；
④若向量与共线，则存在唯一的实数使．
其中正确的是
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
6．已知中，，那么满足条件的（????）
A．有两个解 B．有一个解 C．无解 D．不确定
7．一艘船向正北航行，在A处看灯塔S在船的北偏东方向上，航行后到B处，看到灯塔S在船的北偏东的方向上，此时船距灯塔S的距离（即BS的长）为（????）
??
A． B． C． D．
8．在中，角B，C所对的边分别为b，c，点O为的外心，若，则的最小值是（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列命题为真命题的是（????）
A．若，则
B．复数在复平面内对应的点位于第四象限
C．
D．若为纯虚数，则
10．若向量，，则（????）
A． B．
C．在上的投影向量为 D．与的夹角为
11．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（????）
A．若，则点是的重心
B．若，则点在边的延长线上
C．若在所在的平面内，角所对的边分别是，满足以下条件，则
D．若，且，则的面积是面积的
三、填空题
12．若复数（为虚数单位，），满足，则的值为．
13．与的夹角为锐角，的取值范围为．
14．如图，在中，，，直线交于点，若则.
??
四、解答题
15．已知复数，其中.
(1)若为纯虚数，求的值；
(2)若在复平面内对应的点在第一象限，求的取值范围.
16．已知向量、满足，，且与的夹角为，
（1）求的值；
（2）当为何值时，？
17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求A；
(2)若，求的周长的取值范围.
18．如图，在中，为边上一点，且.
(1)求；
(2)若，求.
19．在平面直角坐标系中，对于非零向量，，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道，平行的充要条件为．
(1)已知，，求；
(2)①已知，的夹角为和，的夹角为，证明：的充分必要条件是；
②在中，，，且，若，求．
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《河南省郑州市第十九高级中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试卷》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
B
C
B
A
B
A
BCD
ABC
题号
11
答案
ACD
1．D
【解析】本题根据复数的除法运算直接计算即可.
【详解】解：因为，所以
故选：D
【点睛】本题考查复数的除法运算，是基础题.
2．C
【分析】利用向量的线性运算计算即可求解.
【详解】∵为的中点，∴，
∴，
∵，∴，
则．
故选：C.
3．B
【分析】根据基底向量的定义，结合共线向量的判定定理逐项分析判断.
【详解】因为?是平面内所有向量的一组基底，则?不共线，
对于选项A：若、共线，则，
可得，无解，
所以、不共线，可以作为基底向量，故A错误；
对于选项B：因为，
可知和共线，不能作为基底向量，故B正确；
对于选项C：若、共线，则，
可得，无解，
所以、不共线，可以作为基底向量，故C错误；
对于选项D：若、共线，则，
可得，无解，
所以、不共线，可以作为基底向量，故D错误；
故选：B.
4．C
【分析】把模式平方转化为数量积的运算，可求得结论．
【详解】由两边平方，得：，
又向量与的夹角为，且，
，即:,
解得：或（舍去），
故选：C．
5．B
【解析】由相等向量的定义,向量的加法法则,平面向量的共线定理,即可判断出结果.
【详解】解析：②③显然正确与都是单位向量，则，但方向可能不同，①不一定成立；当时，实数不唯一，④不一定成立．
故选B．
【点睛】本题考查向量的基本概念,单位